1. **Menentukan determinan Matriks 2x2 dan 3x3** Untuk matriks 2x2 $$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$, determinan dihitung dengan rumus: $$\det(A) = ad - bc$$ Contoh: $$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$$ $$\det(A) = 2 \times 4 - 3 \times 1 = 8 - 3 = 5$$ Untuk matriks 3x3 $$B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$, determinan dihitung dengan rumus: $$\det(B) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$ Contoh: $$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{bmatrix}$$ $$\det(B) = 1(4 \times 6 - 5 \times 0) - 2(0 \times 6 - 5 \times 1) + 3(0 \times 0 - 4 \times 1)$$ $$= 1(24 - 0) - 2(0 - 5) + 3(0 - 4) = 24 + 10 - 12 = 22$$ 2. **Menentukan Invers Matriks 2x2 dan 3x3** Invers matriks 2x2 $$A$$ dengan determinan tidak nol adalah: $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$ Contoh: $$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$$ dengan $$\det(A) = 5$$ Maka: $$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}$$ Invers matriks 3x3 $$B$$ dihitung dengan rumus: $$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \operatorname{adj}(B)$$ 3. **Menentukan Adjoin Matriks 3x3** Adjoin (adjugate) matriks $$B$$ adalah transpose dari matriks kofaktor. Misalkan: $$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{bmatrix}$$ Hitung kofaktor tiap elemen: $$C = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}$$ Dimana setiap kofaktor: $$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$ Dengan $$M_{ij}$$ adalah minor elemen di baris $$i$$ kolom $$j$$. Contoh perhitungan kofaktor: $$C_{11} = (+1) \times \det \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} = 1(4 \times 6 - 5 \times 0) = 24$$ $$C_{12} = (-1) \times \det \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} = -1(0 \times 6 - 5 \times 1) = 5$$ $$C_{13} = (+1) \times \det \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = 1(0 \times 0 - 4 \times 1) = -4$$ Menghitung semua kofaktor: $$C = \begin{bmatrix} 24 & 5 & -4 \\ -12 & 3 & 2 \\ -2 & -5 & 4 \end{bmatrix}$$ Adjoin $$B$$ adalah transpose dari $$C$$: $$\operatorname{adj}(B) = C^T = \begin{bmatrix} 24 & -12 & -2 \\ 5 & 3 & -5 \\ -4 & 2 & 4 \end{bmatrix}$$ 4. **Transpose Matriks 2x2 dan 3x3** Transpose matriks adalah matriks yang diperoleh dengan menukar baris dan kolom. Contoh transpose $$A$$: $$A^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ Contoh transpose $$B$$: $$B^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$