1. Bài toán yêu cầu xác định giá trị của $m$ sao cho ảnh của ánh xạ tuyến tính $f : P_2 \to P_2$ có chiều bằng 2. 2. Ánh xạ $f$ được định nghĩa trên đa thức bậc 2: $$f(a_0 + a_1 x + a_2 x^2) = (a_0 + a_1 + m a_2) + (a_0 + m a_1 + a_2) x + (m a_0 + a_1 + a_2) x^2$$ 3. Ta xét ảnh của $f$ là tập các đa thức dạng: $$f(a_0 + a_1 x + a_2 x^2) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2$$ trong đó $$b_0 = a_0 + a_1 + m a_2$$ $$b_1 = a_0 + m a_1 + a_2$$ $$b_2 = m a_0 + a_1 + a_2$$ 4. Viết dưới dạng ma trận theo cơ sở chuẩn $\{1, x, x^2\}$: $$\begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$$ 5. Chiều của ảnh $\mathrm{Im} f$ bằng hạng của ma trận hệ số: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 6. Ta cần tìm $m$ sao cho $\mathrm{rank}(A) = 2$. 7. Tính định thức của $A$: $$\det(A) = 1 \cdot (m \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - m \cdot 1) + m \cdot (1 \cdot 1 - m \cdot m)$$ $$= 1(m - 1) - 1(1 - m) + m(1 - m^2)$$ $$= (m - 1) - (1 - m) + m - m^3$$ $$= m - 1 - 1 + m + m - m^3$$ $$= 3m - 2 - m^3$$ 8. Để $\mathrm{rank}(A) = 2$, ta cần $\det(A) = 0$ và ma trận không phải là ma trận không (có hạng 0 hoặc 1). 9. Giải phương trình: $$3m - 2 - m^3 = 0 \Rightarrow m^3 - 3m + 2 = 0$$ 10. Phân tích đa thức: $$m^3 - 3m + 2 = (m - 1)^2 (m + 2)$$ 11. Nghiệm của phương trình là $m = 1$ (bội 2) và $m = -2$. 12. Kiểm tra hạng ma trận với từng nghiệm: - Với $m=1$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Hạng của $A$ là 1 (do các hàng giống nhau). - Với $m=-2$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ta kiểm tra hạng: Các hàng không tỉ lệ, và $\det(A) = 0$ nên hạng là 2. 13. Vậy giá trị $m$ thỏa mãn $\dim(\mathrm{Im} f) = 2$ là: $$\boxed{-2}$$