1. مشكلة: لدينا مصفوفة مربعة ثلاثية الأبعاد ونريد إيجاد القيم الذاتية والاشعة الذاتية لها. 2. مثال للمصفوفة: $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. لإيجاد القيم الذاتية $\lambda$، نحتاج إلى حل معادلة $$\det(A - \lambda I) = 0$$ حيث $I$ هي مصفوفة الوحدة $3 \times 3$. 4. نكتب $A - \lambda I$: $$\begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 & 2 \\ 0 & 3-\lambda & -1 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}$$ 5. نحسب المحدد: $$\det(A - \lambda I) = (4-\lambda) \times ((3-\lambda)(2-\lambda) - ( -1 \times 0)) - 1 \times (0 \times (2-\lambda) - (-1) \times 0) + 2 \times (0 \times 0 - (3-\lambda) \times 0)$$ 6. ببسط المحدد: $$\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)((3-\lambda)(2-\lambda))$$ 7. الآن نوسع: $$(3-\lambda)(2-\lambda) = 6 - 3\lambda - 2\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6$$ 8. بالتالي: $$\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)(\lambda^2 - 5\lambda + 6) = 0$$ 9. القيم الذاتية هي حلول المعادلة: - إما $4 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 4$ - أو $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ 10. نحل المعادلة التربيعية: $$\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$$ 11. عوامل المعادلة: $$(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0$$ 12. إذن القيم الذاتية الأخرى: $$\lambda = 2, 3$$ 13. القيمة الذاتية النهائية للمصفوفة هي: $$\boxed{\lambda = 2, 3, 4}$$ 14. لإيجاد الاشعة الذاتية لكل قيمة ذاتية $\lambda$، نحل النظام: $$(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$$ حيث $\mathbf{v}$ هو المتجه الذاتي. 15. مثال للقيمة الذاتية $\lambda = 4$: $$A - 4I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ 16. نظام المعادلات: - $0x + 1y + 2z = 0 \Rightarrow y + 2z = 0$ - $0x - y - z = 0 \Rightarrow -y - z = 0$ - $0x + 0y - 2z = 0 \Rightarrow -2z = 0$ 17. من المعادلة الثالثة: $$z = 0$$ 18. من الثانية: $$-y - 0 = 0 \Rightarrow y = 0$$ 19. إذن: $$y=0, z=0$$ $x$ حر = $t$ 20. الأشعة الذاتية للـ$\lambda=4$: $$\mathbf{v} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \neq 0$$ 21. بنفس الطريقة نوجد الأشعة الذاتية للقيمتين $2$ و $3$: لـ$\lambda=3$: $$A - 3I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ 22. نظام المعادلات: - $x + y + 2z = 0$ - $0x + 0y - z = 0 \Rightarrow z=0$ - $0x + 0y - z = 0 \Rightarrow z=0$ 23. إذن: $$z=0$$ 24. من المعادلة الأولى: $$x + y = 0 \Rightarrow y = -x$$ 25. الأشعة الذاتية للـ$\lambda = 3$ هي: $$\mathbf{v} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ 26. للـ$\lambda = 2$: $$A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 27. نظام المعادلات: - $2x + y + 2z = 0$ - $0x + y - z = 0 \Rightarrow y = z$ - $0 = 0$ 28. من الثانية: $$y = z$$ 29. نعوض $y = z$ في الأولى: $$2x + z + 2z = 0 \Rightarrow 2x + 3z = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}z$$ 30. الأشعة الذاتية للـ$\lambda = 2$ هي: $$\mathbf{v} = t \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ 31. الخلاصة: - القيم الذاتية: $\boxed{2, 3, 4}$ - الأشعة الذاتية لكل قيمة: - $\lambda = 4$: $\mathbf{v} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ - $\lambda = 3$: $\mathbf{v} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ - $\lambda = 2$: $\mathbf{v} = t \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$