1. **Uppgáva 3: Finn t so a og b eru ortogonalir** Givnir vektorar: $$a = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}t \\ 6 + t\end{pmatrix}$$ Ortogonalir vektorar hava innrættaða vørpun $a \cdot b = 0$. Rokna innrættaða vørpun: $$a \cdot b = 2 \cdot t + 1 \cdot (6 + t) = 2t + 6 + t = 3t + 6$$ Set innrættaða vørpun til 0: $$3t + 6 = 0$$ Lósa fyri $t$: $$3t = -6$$ $$t = -2$$ 2. **Uppgáva 4: Finn tangentin til f(x) í punktinum $P(2,f(2))$** Funksjón: $$f(x) = x^3 + 2x^2 + 4x - 7$$ Finn fyrsta avleiðu $f'(x)$: $$f'(x) = 3x^2 + 4x + 4$$ Fá ferilurin á punktinum $x=2$: $$f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 + 4 = 3 \cdot 4 + 8 + 4 = 12 + 8 + 4 = 24$$ Reknar $f(2)$: $$f(2) = 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 7 = 8 + 8 + 8 - 7 = 17$$ Línjubrotið (halla) við punktið $P(2, 17)$ er $m = 24$. Formulan fyri tangentlínu: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ Innset: $$y - 17 = 24(x - 2)$$ Skrivið út: $$y = 24x - 48 + 17 = 24x - 31$$ 3. **Uppgáva 5: Finn integralin** $$\int \frac{2x}{x^2 + 5} \, dx$$ Brúka substitution: Lat $$u = x^2 + 5 \Rightarrow du = 2x \, dx$$ Integralurin umskrivaður: $$\int \frac{2x}{x^2 + 5} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C$$ Set $u$ aftur: $$\int \frac{2x}{x^2 + 5} \, dx = \ln|x^2 + 5| + C$$ 4. **Uppgáva 8a: Finn projektionina av a á b** Givnir vektorar: $$a = \begin{pmatrix}30 \\ -10\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix}$$ Formul fyri projektion: $$\mathrm{proj}_b a = \frac{a \cdot b}{|b|^2}b$$ Innleiða innrættaða vørpun: $$a \cdot b = 30 \cdot 4 + (-10) \cdot 3 = 120 - 30 = 90$$ Finn norm av $b$ í ferðu: $$|b|^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$ Set allesaman: $$\mathrm{proj}_b a = \frac{90}{25} \begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix} = 3.6 \begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14.4 \\ 10.8\end{pmatrix}$$