1. **Stel het probleem vast:** We zoeken de matrix $X \in \mathbb{R}^{3\times3}$ die voldoet aan de vergelijking $$ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \cdot X - \begin{bmatrix}1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -1\end{bmatrix} $$ 2. **Herleid de vergelijking:** Breng de substractie naar rechts toe: $$ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \cdot X = \begin{bmatrix}2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & -2\end{bmatrix} $$ 3. **Bereken het product van de eerste twee matrices:** $$ A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} $$ $$ AB = A \cdot B = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{bmatrix} $$ 4. **Schrijf de vergelijking nu als:** $$ AB \cdot X = \begin{bmatrix}3 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & -2\end{bmatrix} $$ 5. **Los op voor $X$ door te vermenigvuldigen met $AB^{-1}$ aan de linkerkant:** $$ X = (AB)^{-1} \cdot \begin{bmatrix}3 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & -2\end{bmatrix} $$ 6. **Bereken de inverse van $AB$:** De determinant van $AB$ is $$ \det(AB) = 1(2 \cdot 3 - 2 \cdot 2) - 1(1 \cdot 3 - 2 \cdot 1) + 1(1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) = 1(6 - 4) - 1(3 - 2) + 1(2 - 2) = 2 - 1 + 0 = 1 $$ Omdat de determinant 1 is, is $AB$ inverteerbaar. 7. **Bereken de inverse matrix $AB^{-1}$:** $$ AB^{-1} = \begin{bmatrix}2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{bmatrix} $$ 8. **Bereken $X$:** $$ X = AB^{-1} \cdot \begin{bmatrix}3 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & -2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}3 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & -2\end{bmatrix} $$ 9. **Voer de matrixvermenigvuldiging uit:** $$ X = \begin{bmatrix} 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 0 & 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) + 0 \cdot (-2) \\ -1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & -1 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 & -1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot (-2) \\ 0 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 3 & 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 & -6 & 4 \\ -2 & 4 & -3 \\ 2 & -2 & 0\end{bmatrix} $$ **Antwoord:** $$ X = \begin{bmatrix}5 & -6 & 4 \\ -2 & 4 & -3 \\ 2 & -2 & 0\end{bmatrix} $$