1. Problema: Determinați transformata Laplace a funcției $f(t) = te^{3t}$ pentru $t \geq 0$ și $f(t) = 0$ pentru $t < 0$ folosind teorema derivării imaginii. 2. Formula folosită: Dacă $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(p)$, atunci teorema derivării imaginii spune că $$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{dp}F(p).$$ 3. Mai întâi, găsim transformata Laplace a funcției de bază $e^{3t}$: $$\mathcal{L}\{e^{3t}\} = \int_0^{\infty} e^{-pt} e^{3t} dt = \int_0^{\infty} e^{-(p-3)t} dt = \frac{1}{p-3}, \quad \text{pentru } p > 3.$$ 4. Aplicăm teorema derivării imaginii: $$\mathcal{L}\{t e^{3t}\} = -\frac{d}{dp} \left( \frac{1}{p-3} \right) = -\left(-\frac{1}{(p-3)^2}\right) = \frac{1}{(p-3)^2}.$$ 5. Răspuns final: $$\boxed{\mathcal{L}\{t e^{3t}\} = \frac{1}{(p-3)^2}, \quad p > 3.}$$ Aceasta este transformata Laplace a funcției date folosind teorema derivării imaginii.