1. Planteamos el problema: Demostrar que la proposición $$\neg[( p \lor q ) \lor ( \neg r \land (p \lor q))] \Leftrightarrow ( p \Leftrightarrow q )$$ es una tautología. 2. Simplificamos el lado izquierdo (LI): $$\neg[( p \lor q ) \lor ( \neg r \land (p \lor q))]$$ Aplicamos la ley distributiva para factorizar $p \lor q$: $$= \neg[( p \lor q ) \lor ( \neg r \land (p \lor q))] = \neg[( p \lor q ) \lor (p \lor q) \land \neg r]$$ Por la ley distributiva: $$= \neg[( p \lor q ) \lor ((p \lor q) \land \neg r)]$$ Por la ley de absorción: $$(p \lor q) \lor ((p \lor q) \land \neg r) = p \lor q$$ Entonces: $$= \neg(p \lor q)$$ 3. Ahora, el LI simplificado es: $$\neg(p \lor q) = \neg p \land \neg q$$ 4. El lado derecho (LD) es: $$p \Leftrightarrow q = (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$$ 5. Para que la bicondicional sea tautología, debe cumplirse: $$\neg(p \lor q) \Leftrightarrow (p \Leftrightarrow q)$$ Es decir: $$\neg p \land \neg q \Leftrightarrow (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$$ 6. Observamos que $\neg p \land \neg q$ es un término del LD, pero LD también incluye $p \land q$. 7. Por lo tanto, LI es verdadero solo cuando $p$ y $q$ son ambos falsos, mientras que LD es verdadero cuando $p$ y $q$ son ambos falsos o ambos verdaderos. 8. Por ende, la proposición no es una tautología porque no son equivalentes en todos los casos. 9. Conclusión: La proposición dada no es una tautología.