1. Diberikan vektor a dan b membentuk sudut $\alpha$ dengan $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}}$, $\|a\|=\sqrt{5}$, dan $a \cdot b = \sqrt{30}$. Tentukan $b \cdot b$. 2. Diberikan dua vektor $2i - 3j + 5k$ dan $3i + aj - 2k$ saling tegak lurus. Tentukan nilai $a$. 3. Jika $A = 2i - j + k$ dan $B = i + 2j - 3k$, tentukan $\| (2A + B) \times (A - 2B) \|$. --- 1. Mari kita gunakan rumus hasil dot product: $$a \cdot b = \|a\| \|b\| \cos \alpha$$ Namun kita hanya tahu $\sin \alpha$, jadi kita akan cari $\cos \alpha$ dengan identitas Pythagoras: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\frac{1}{7} + \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$$ $$\cos \alpha = \sqrt{\frac{6}{7}}$$ karena sudut di antara vektor biasanya diambil $0 \leq \alpha \leq \pi$, sehingga positif. Lalu, kita tahu bahwa dot product: $$a \cdot b = \|a\| \|b\| \cos \alpha$$ Substitusi nilai: $$\sqrt{30} = \sqrt{5} \times \|b\| \times \sqrt{\frac{6}{7}}$$ Maka: $$\|b\| = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{5} \times \sqrt{\frac{6}{7}}} = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{\frac{6}{7}}}$$ $$= \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{7}{6}} = \sqrt{7}$$ Maka $b \cdot b = \|b\|^2 = 7$. 2. Dua vektor saling tegak lurus berarti dot product mereka nol: $$(2i - 3j + 5k) \cdot (3i + aj - 2k) = 0$$ Hitung dot product: $$2 \times 3 + (-3) \times a + 5 \times (-2) = 0$$ $$6 - 3a - 10 = 0$$ $$-3a - 4 = 0 \implies -3a = 4 \implies a = -\frac{4}{3}$$ 3. Hitung $2A + B$ dan $A - 2B$: $$2A + B = 2(2i - j + k) + (i + 2j - 3k) = (4i - 2j + 2k) + (i + 2j - 3k) = 5i + 0j - k$$ $$A - 2B = (2i - j + k) - 2(i + 2j - 3k) = (2i - j + k) - (2i + 4j - 6k) = 0i - 5j + 7k$$ Hitung perkalian silang: $$(2A + B) \times (A - 2B) = (5i - k) \times (-5j + 7k)$$ Vektor pertama: $(5,0,-1)$ dan vektor kedua: $(0,-5,7)$. Dengan rumus cross product: $$= (0 \times 7 - (-1) \times (-5))i - (5 \times 7 - (-1) \times 0)j + (5 \times (-5) - 0 \times 0)k$$ $$= (0 - 5)i - (35 - 0)j + (-25 - 0)k = -5i - 35j - 25k$$ Norma vektor ini: $$\| -5i - 35j - 25k \| = \sqrt{(-5)^2 + (-35)^2 + (-25)^2} = \sqrt{25 + 1225 + 625} = \sqrt{1875}$$ $$1875 = 25 \times 75 = 25 \times 25 \times 3 = 625 \times 3$$ $$\sqrt{1875} = 25 \sqrt{3}$$ **Jawaban:** 1. $b \cdot b = 7$ 2. $a = -\frac{4}{3}$ 3. $\| (2A + B) \times (A - 2B) \| = 25\sqrt{3}$