1. Stwierdzenie problemu: Mamy dwa ramiona naczynia połączonego z rtęcią o poziomie odległym o $d$ od górnych końców ramion. Pole przekroju jednego ramienia jest dwa razy większe od drugiego. Do szerszego ramienia nalano wodę do pełna. Należy obliczyć, o jaką wysokość podniósł się poziom rtęci w węższym ramieniu. 2. Dane i oznaczenia: - $A$ - pole przekroju węższego ramienia, - $2A$ - pole przekroju szerszego ramienia, - $d$ - odległość poziomu rtęci od górnych końców ramion, - $p_1$ - gęstość rtęci, - $p_2$ - gęstość wody, - $h$ - wysokość podniesienia poziomu rtęci w węższym ramieniu (szukane). 3. Zasada naczyń połączonych i równowaga ciśnień: Po wlaniu wody do szerszego ramienia, rtęć podnosi się w węższym ramieniu o $h$. Wysokość słupa rtęci w węższym ramieniu to $d + h$. Wysokość słupa rtęci w szerszym ramieniu zmniejszy się o $\Delta h$. 4. Zachowanie objętości rtęci: Objętość rtęci jest stała, więc: $$ A(d + h) = 2A(d - \Delta h) $$ Po uproszczeniu: $$ d + h = 2d - 2\Delta h $$ $$ h + 2\Delta h = d $$ 5. Równowaga ciśnień na poziomie połączenia: Ciśnienie w węższym ramieniu: $$ p_1 g (d + h) $$ Ciśnienie w szerszym ramieniu to suma ciśnienia rtęci i wody: $$ p_1 g (d - \Delta h) + p_2 g h_w $$ gdzie $h_w$ to wysokość słupa wody w szerszym ramieniu. 6. Objętość wody w szerszym ramieniu: Ponieważ woda wlała się do pełna, wysokość wody to: $$ h_w = \Delta h $$ 7. Równanie ciśnień: $$ p_1 g (d + h) = p_1 g (d - \Delta h) + p_2 g \Delta h $$ Po uproszczeniu i podzieleniu przez $g$: $$ p_1 (d + h) = p_1 (d - \Delta h) + p_2 \Delta h $$ $$ p_1 h + p_1 \Delta h = p_2 \Delta h $$ 8. Przekształcenie: $$ p_1 h = (p_2 - p_1) \Delta h $$ 9. Z równania objętości: $$ h + 2\Delta h = d \Rightarrow \Delta h = \frac{d - h}{2} $$ 10. Podstawiamy $\Delta h$ do równania ciśnień: $$ p_1 h = (p_2 - p_1) \frac{d - h}{2} $$ 11. Mnożymy obie strony przez 2: $$ 2 p_1 h = (p_2 - p_1)(d - h) $$ 12. Rozwijamy prawą stronę: $$ 2 p_1 h = (p_2 - p_1)d - (p_2 - p_1)h $$ 13. Grupujemy wyrazy z $h$: $$ 2 p_1 h + (p_2 - p_1) h = (p_2 - p_1) d $$ $$ h (2 p_1 + p_2 - p_1) = (p_2 - p_1) d $$ $$ h (p_1 + p_2) = (p_2 - p_1) d $$ 14. Ostateczne rozwiązanie: $$ h = \frac{(p_2 - p_1) d}{p_1 + p_2} $$ Odpowiedź: Poziom rtęci w węższym ramieniu podniósł się o wysokość $$ h = \frac{(p_2 - p_1) d}{p_1 + p_2} $$