1. প্রশ্ন বোঝা: একটি ধাতব গোলকের ব্যাসের ক্ষেত্রফল $A$ থেকে নতুন গোলকের ব্যাসের ক্ষেত্রফল $\frac{A}{2}$ হয়েছে। এর অর্থ, নতুন গোলকের ব্যাসের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক। 2. গোলকের ব্যাসের ক্ষেত্রফল $A$ দিই: $$A = \pi r^2$$ যেখানে $r$ হল মূল গোলকের ব্যাসের অর্ধাংশ। 3. নতুন গোলকের ব্যাসের ক্ষেত্রফল, $$A_{new} = \frac{A}{2} = \frac{\pi r^2}{2}$$ 4. এখানে, নতুন গোলকের ব্যাস $r_{new}^2$ হবে, তাই: $$\pi r_{new}^2 = \frac{\pi r^2}{2} \implies r_{new}^2 = \frac{r^2}{2} \implies r_{new} = \frac{r}{\sqrt{2}}$$ 5. এখন আয়তন নির্ণয় করা যাক। গোলকের আয়তন $V$ হয়: $$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$ 6. নতুন গোলকের আয়তন হবে: $$V_{new} = \frac{4}{3} \pi r_{new}^3 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right)^3 = \frac{4}{3} \pi r^3 \frac{1}{2^{3/2}} = V \times 2^{-3/2}$$ 7. অর্থাৎ, নতুন গোলকের আয়তন: $$V_{new} = V \cdot \frac{1}{2^{3/2}} = V \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}}$$ 8. কাটা অংশের আয়তন হবে মোট আয়তন থেকে নতুন গোলকের আয়তন বাদ দিলে: $$V_{cut} = V - V_{new} = V - V \frac{1}{2 \sqrt{2}} = V \left( 1 - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right)$$ 9. তাই, কাটা অংশের আয়তনের সঙ্গে নতুন গোলকের আয়তনের অনুপাত: $$\frac{V_{cut}}{V_{new}} = \frac{V \left(1 - \frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)}{V \frac{1}{2 \sqrt{2}}} = \frac{1 - \frac{1}{2 \sqrt{2}}}{\frac{1}{2 \sqrt{2}}} = 2 \sqrt{2} - 1$$ \boxed{\text{অর্থাৎ, কাটা অংশের আয়তনের সঙ্গে বাকি অংশের আয়তনের অনুপাত } = 2 \sqrt{2} - 1}