1. \textbf{نص المشكلة:} لدينا متوازي أضلاع $ABCD$ مع نقطة $N$ حيث $\overrightarrow{AN} = 3 \overrightarrow{AD}$ ونقطة $M$ حيث $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$. المطلوب اثبات العلاقات بين المتجهات المعطاة والتحقق من مستقيمية بعض النقاط، ثم دراسة مواقع نقاط أخرى وتوازي مستقيمات. 2. \textbf{إنشاء الشكل:} - $ABCD$ متوازي أضلاع يعني أن: $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \quad \text{و} \quad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$$ - النقطة $N$ محددة بواسطة: $$\overrightarrow{AN} = 3 \overrightarrow{AD}$$ - النقطة $M$ محددة بواسطة: $$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$$ 3. \textbf{إثبات المعادلات المعطاة:} - نعبّر عن $\overrightarrow{CM}$: $$\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$$ لكن لأن $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ و $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}$، من المعروف أن $$\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{AD}$$ ومع ذلك، لتعريف $C$ بالنسبة لـ $A$، نكتب: $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$$ وبالتالي $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ إذا: $$\overrightarrow{CM} = - (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{AC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}$$ - لإثبات $\overrightarrow{CN}$: نعلم أن: $$\overrightarrow{AN} = 3 \overrightarrow{AD} = 3 (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 3 \overrightarrow{AC} - 3 \overrightarrow{AB}$$ ولأن $\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AN}$، إذن: $$\overrightarrow{CN} = -\overrightarrow{AC} + (3 \overrightarrow{AC} - 3 \overrightarrow{AB}) = 2 \overrightarrow{AC} - 3 \overrightarrow{AB}$$ 4. \textbf{استنتاج أن $C, M,$ و $N$ مستقيمية:} نلاحظ أن: $$\overrightarrow{CN} = 2 \overrightarrow{AC} - 3 \overrightarrow{AB}$$ و $$\overrightarrow{CM} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}$$ نريد إظهار أن $\overrightarrow{CN}$ و $\overrightarrow{CM}$ خطيان، اي هناك عدد $\lambda$ بحيث: $$\overrightarrow{CN} = \lambda \overrightarrow{CM}$$ نفرض ذلك ونحل: $$2 \overrightarrow{AC} - 3 \overrightarrow{AB} = \lambda (- \overrightarrow{AC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AB})$$ نعادل المعاملات: في $\overrightarrow{AC}$: $2 = -\lambda \implies \lambda = -2$ في $\overrightarrow{AB}$: $-3 = \lambda \times \frac{3}{2} = -2 \times \frac{3}{2} = -3$ إذاً الشرط صحيح ونقاط $C, M, N$ على مستقيم واحد. 5. \textbf{إثبات أن $C$ منتصف القطعة $[EF]$:} - نقطة $E$ منتصف $[DN]$: $$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DN})$$ بنكتب: $$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2} (3\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AD}$$ فإذاً: $$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} = 2 \overrightarrow{AD}$$ - نقطة $F$ معرفة بــ: $$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} \implies \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{AB}$$ - حالياً: $$\overrightarrow{AE} = 2 \overrightarrow{AD} = 2 (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 2 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{AB}$$ و $$\overrightarrow{AF} = 2 \overrightarrow{AB}$$ نحسب متجه $\overrightarrow{EF}$: $$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = 2 \overrightarrow{AB} - (2 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{AB}) = 2 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{AB} = 4 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC}$$ - الآن متجه $\overrightarrow{EC}$: $$\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} - (2 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{AB}) = - \overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{AB}$$ - نلاحظ أن: $$\overrightarrow{EC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{EF}$$ إذًا $C$ هو منتصف القطعة $[EF]$. 6. \textbf{إثبات أن المستقيمين $(BD)$ و $(EF)$ متوازيان:} - متجه $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{AB}$ - متجه $\overrightarrow{EF} = 4 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC} = -2 (\overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{AB}) = -2 \overrightarrow{BD}$ بما أن $\overrightarrow{EF} = -2 \overrightarrow{BD}$، فالمستقيمين متوازيان. \textbf{النتائج النهائية:} - $\overrightarrow{CM} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ - $\overrightarrow{CN} = -3 \overrightarrow{AB} + 2 \overrightarrow{AC}$ - النقاط $C, M, N$ مستقيمية. - $C$ منتصف القطعة $[EF]$. - المستقيمان $(BD)$ و $(EF)$ متوازيان.