1. **Phát biểu bài toán:** Cho tam giác đều ABC và các điểm M, N, P trên các cạnh BC, CA, AB sao cho - BM = k \cdot BC - CN = \frac{2}{3} \cdot CA - AP = \frac{4}{15} \cdot AB Xét tính đúng/sai các khẳng định: a) \frac{AP}{AN} = AM b) \overrightarrow{AM} = (1-k) \overrightarrow{AB} + k \overrightarrow{AC} c) \overrightarrow{PN} = -\frac{4}{15} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} d) Giá trị k để \overrightarrow{AM} vuông góc với \overrightarrow{PN} là k=\frac{1}{6}. 2. **Mô hình vector:** - Vì ABC là tam giác đều, ta chọn gốc tại A, đạo hàm vector cơ sở là \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{AC}. 3. **Tính vector các điểm:** - M thuộc BC với BM = k BC, vì B lúc này là \overrightarrow{AB} và C là \overrightarrow{AC}, nên $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{BM} = k (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + k (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = (1-k)\overrightarrow{AB} + k \overrightarrow{AC}$$ - N thuộc CA, CN = \frac{2}{3} CA nên $$\overrightarrow{CN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CA} = \frac{2}{3}(- \overrightarrow{AC}) = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AC} - \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$$ - P thuộc AB, AP = \frac{4}{15} AB nên $$\overrightarrow{AP} = \frac{4}{15} \overrightarrow{AB}$$ 4. **Kiểm tra câu a): \frac{AP}{AN} = AM?** - Tỉ lệ vectơ không tương đương được với phép chia trực tiếp. Câu này không đúng vì \frac{AP}{AN} không có nghĩa rõ ràng trong đại số vectơ như phép chia số. Nếu hiểu \frac{AP}{AN} là tỉ số độ dài thì $$\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{AN}|} = \frac{\frac{4}{15} |\overrightarrow{AB}|}{\frac{1}{3} |\overrightarrow{AC}|} = \frac{4}{15} \cdot 3 = \frac{4}{5}$$ nhưng \overrightarrow{AM} là vectơ, không phải số nên không bằng. 5. **Kiểm tra câu b):** - Từ bước 3 đã có $$\overrightarrow{AM} = (1-k) \overrightarrow{AB} + k \overrightarrow{AC}$$ vậy câu b) đúng. 6. **Kiểm tra câu c): Tính \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AP}$$ - $$\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} - \frac{4}{15} \overrightarrow{AB} = -\frac{4}{15} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$$ Vậy câu c) đúng. 7. **Kiểm tra câu d): \overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{PN} \implies \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{PN} = 0** - Thay các biểu thức: $$\overrightarrow{AM} = (1-k) \overrightarrow{AB} + k \overrightarrow{AC}$$ $$\overrightarrow{PN} = -\frac{4}{15} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$$ - Lấy tích vô hướng: $$[(1-k) \overrightarrow{AB} + k \overrightarrow{AC}] \cdot \left(-\frac{4}{15} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\right) = 0$$ - Phát triển: $$(1-k) \times \left(-\frac{4}{15} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \right) + k \times \left(-\frac{4}{15} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} \right) = 0$$ - Vì là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 1 (giả sử) và góc 60 độ nên: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = 1$$ $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = 1$$ $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB||AC|\cos 60^\circ = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ - Thay vào: $$(1-k) \left(-\frac{4}{15} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \right) + k \left(-\frac{4}{15} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 1 \right) = 0$$ $$(1-k) \left(-\frac{4}{15} + \frac{1}{6} \right) + k \left(-\frac{2}{15} + \frac{1}{3} \right) = 0$$ $$(1-k) \left(-\frac{8}{30} + \frac{5}{30} \right) + k \left(-\frac{4}{30} + \frac{10}{30} \right) = 0$$ $$(1-k) \left(-\frac{3}{30} \right) + k \left(\frac{6}{30} \right) = 0$$ $$-\frac{3}{30} + \frac{3k}{30} + \frac{6k}{30} = 0$$ $$-\frac{3}{30} + \frac{9k}{30} = 0$$ $$9k = 3 \Rightarrow k = \frac{1}{3}$$ - Do đó giá trị k để \overrightarrow{AM} vuông góc với \overrightarrow{PN} là \frac{1}{3}, không phải \frac{1}{6}. **Kết luận:** a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai, đúng là k=\frac{1}{3}