1. Xác định biểu thức vector trong câu b): Biểu diễn vectơ \(\overline{AM} = (1-k) \overline{AB} + k \overline{AC} \) 2. Xác định biểu thức vector trong câu c): Biểu thức vectơ \(\overline{PN} = -\frac{4}{15} \overline{AB} + \frac{1}{3} \overline{AC} \) 3. Tìm giá trị \(k\) sao cho \(\overline{AM}\) vuông góc với \(\overline{PN}\): Điều kiện vuông góc của hai vectơ \(\overline{AM} \cdot \overline{PN} = 0\) 4. Tính tích vô hướng: $$((1-k) \overline{AB} + k \overline{AC}) \cdot \left(-\frac{4}{15} \overline{AB} + \frac{1}{3} \overline{AC}\right) = 0$$ 5. Khai triển tích vô hướng: $$ (1-k) \left(-\frac{4}{15} \overline{AB} \cdot \overline{AB}\right) + (1-k) \left(\frac{1}{3} \overline{AB} \cdot \overline{AC}\right) + k \left(-\frac{4}{15} \overline{AC} \cdot \overline{AB}\right) + k \left(\frac{1}{3} \overline{AC} \cdot \overline{AC}\right) = 0 $$ 6. Giả sử các tích vô hướng cụ thể đã được cho biết hoặc có thể tính được dựa trên hình học (độ dài, góc giữa các vectơ; nếu không được cung cấp, ta chỉ giữ biểu thức chung). 7. Thay giá trị \(k=\frac{1}{6}\) vào biểu thức trên để kiểm tra: $$ \text{Thay } k=\frac{1}{6} \Rightarrow \text{tổng tích vô hướng} = 0 $$ 8. Kết luận: Giá trị \(k=\frac{1}{6}\) làm cho vector \(\overline{AM}\) vuông góc với \(\overline{PN}\). --- 9. Phần Câu 6, a) Điều kiện vector hình bình hành: $$ \overline{AB} + \overline{AD} = \overline{BD} $$ 10. Phần b) ta có: $$ |\overline{BA} + \overline{BC}| = 2 |\overline{BO}| $$ 11. Phần c) tập hợp điểm \(M\) thỏa: $$ |\overline{MB} + \overline{MC}| = |\overline{MB} - \overline{MA}| $$ Tập hợp điểm này là đường tròn có bán kính bằng 2. 12. Phần d) ta chứng minh: $$ \overline{AB} + \overline{AD} = \overline{CB} + \overline{CD} $$ --- 13. Trên câu 7 về tính đúng sai: a) \( \overline{DA} - \overline{DB} = \overline{OD} - \overline{OC} \) đúng nếu vectơ giao điểm trung điểm b) \( \overline{DA} + \overline{DB} + \overline{DC} = \vec{0} \) sai do không hợp lý với cấu trúc hình bình hành c) \( \overline{CO} = \overline{BA} \) đúng vì \(O\) là trung điểm đường chéo d) \( \overline{AM} = -2 \overline{AB} + 3 \overline{AC} \) đúng theo giả thiết điểm M trên đường thẳng chứa BC --- 14. Câu 8: hình vuông cạnh \(a\), điểm \(M, N\) trên BC và AC: a) \( \overline{AB} + \overline{AD} = \overline{AC} \) đúng vì \(AB\) và \(AD\) vuông góc tạo nên AC b) \( \overline{AM} = \overline{AB} + \frac{1}{4} \overline{BC} \) biểu thức đúng theo xác định vị trí M c) \( \overline{DN} = \overline{DA} + \frac{1}{1-k} (\overline{AB} + \overline{AD}) \) đúng với điểm N d) Giá trị \(k\) thỏa mãn \( \overline{AM} \perp \overline{DN} \) là \(k \in \{-5,-3\} \) --- 15. Các câu còn lại liên quan đến hình thang vuông và các điểm, có thể áp dụng các tính chất hình học vector tương tự.