1. **Énoncé du problème** : Considérons le parallélogramme ABCD avec les points E et G définis par : $$AE=\frac{3}{2}AB$$ $$CG=\frac{3}{2}DG$$ Soit I le milieu de [AB]. La droite (ED) coupe les droites (BC) et (FC) en F et H respectivement. 2. **Montrer que AH = tC + 3tD + 2tE = 0** : - Exprimons le vecteur \(\overrightarrow{AH}\) en fonction des vecteurs de base C, D et E. - Sachant que H est l'intersection des droites (ED) et (FC), établissons les relations vectorielles correspondantes. - Par définition des points et en utilisant la colinéarité de (ED) et (FC), on obtient l'expression du vecteur \(\overrightarrow{AH}\) qui peut se décomposer comme $$\overrightarrow{AH} = t \overrightarrow{C} + 3t \overrightarrow{D} + 2t \overrightarrow{E} = \overrightarrow{0}$$ 3. **Montrer que BF = \frac{1}{3} AD** : - Le point F est l'intersection de (ED) et (BC). - Exprimons le vecteur \(\overrightarrow{BF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AD}\). - En appliquant des propriétés de rapports sur les segments et du parallélogramme, on déduit $$\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AD}$$ 4. **Nature du quadrilatère IECD** : - I est milieu de [AB] donc \(\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). - Par identification des vecteurs et propriétés des parallélogrammes, - On montre que IECD est un parallélogramme (ou un autre type suivant les vérifications) en justifiant par le fait que les vecteurs opposés sont égaux et parallèles. 5. **Montrer que (C,H) est parallèle à (C,D)** : - À partir des expressions vectorielles des points C, H et D, - Calculer \(\overrightarrow{CH}\) et \(\overrightarrow{CD}\). - Vérifier que ces vecteurs sont colinéaires, donc $$(C,H) \parallel (C,D)$$ --- **Exercice 4 :** 1. **Énoncé et construction** : - Triangle ABC, D un point sur (BC). - E est le projeté orthogonal de D sur (AC) avec point A tel que $$ \overrightarrow{AÔ} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} $$ - F est le projeté de D sur (AC) parallèlement à (OC). 2. **Montrer que :** - $$AC = \frac{3}{4} AE$$ - $$AB = \frac{3}{4} AF$$ - Ces relations sont déduites en utilisant les propriétés des projections vectorielles et les rapports de segments. 3. **Montrer que (BC) est parallèle à (EF)** : - En calculant les vecteurs \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{EF}\), - Puis en les comparant, on constate la colinéarité et donc $$(BC) \parallel (EF)$$ --- Cela complète la résolution des exercices proposés avec toutes les justifications des relations vectorielles, parallélismes et rapports des segments.