1. ปัญหา: เขียนเวกเตอร์ $\overrightarrow{EG}$ ในรูปของเวกเตอร์ $\mathbf{\bar{u}} = \overrightarrow{BA}$ และ $\mathbf{\bar{v}} = \overrightarrow{CB}$ ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD โดยที่ E และ F เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AD และ BC ตามลำดับ และ G เป็นจุดตัดของเส้นตรง CE และ DF. 2. กำหนดเวกเตอร์พื้นฐาน: - $\overrightarrow{BA} = \mathbf{\bar{u}}$ - $\overrightarrow{CB} = \mathbf{\bar{v}}$ 3. เขียนเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องในรูปของ $\mathbf{\bar{u}}$ และ $\mathbf{\bar{v}}$: - $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = -\mathbf{\bar{u}} + \mathbf{\bar{v}}$ (เพราะ $\overrightarrow{AB} = -\mathbf{\bar{u}}$ และ $\overrightarrow{BD} = \mathbf{\bar{v}}$) - จุด E เป็นจุดกึ่งกลางของ AD ดังนั้น $$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(-\mathbf{\bar{u}} + \mathbf{\bar{v}}) = -\frac{1}{2} \mathbf{\bar{u}} + \frac{1}{2} \mathbf{\bar{v}}$$ - จุด F เป็นจุดกึ่งกลางของ BC ดังนั้น $$\overrightarrow{BF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \mathbf{\bar{v}}$$ 4. เขียนเวกเตอร์ CE และ DF: - $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AE} = -\mathbf{\bar{v}} - \mathbf{\bar{u}} + \overrightarrow{AE}$ แต่ $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = -(-\mathbf{\bar{u}} + \mathbf{\bar{v}}) = \mathbf{\bar{u}} - \mathbf{\bar{v}}$ ดังนั้น $$\overrightarrow{CE} = (\mathbf{\bar{u}} - \mathbf{\bar{v}}) + (-\frac{1}{2} \mathbf{\bar{u}} + \frac{1}{2} \mathbf{\bar{v}}) = \frac{1}{2} \mathbf{\bar{u}} - \frac{1}{2} \mathbf{\bar{v}}$$ - $\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BF} = -\mathbf{\bar{v}} + \frac{1}{2} \mathbf{\bar{v}} = -\frac{1}{2} \mathbf{\bar{v}}$ 5. กำหนดพารามิเตอร์ $t$ และ $s$ สำหรับจุด G บนเส้นตรง CE และ DF ตามลำดับ: - $\overrightarrow{CG} = t \overrightarrow{CE} = t \left( \frac{1}{2} \mathbf{\bar{u}} - \frac{1}{2} \mathbf{\bar{v}} \right) = \frac{t}{2} \mathbf{\bar{u}} - \frac{t}{2} \mathbf{\bar{v}}$ - $\overrightarrow{DG} = s \overrightarrow{DF} = s \left(-\frac{1}{2} \mathbf{\bar{v}} \right) = -\frac{s}{2} \mathbf{\bar{v}}$ 6. เนื่องจาก $\overrightarrow{CG} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{CD} = -\mathbf{\bar{u}}$ (เพราะ $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC} = -\mathbf{\bar{u}}$) 7. เขียนสมการตำแหน่งจุด G จากจุด C และ D: - จาก C: $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CG} = (\mathbf{\bar{u}} - \mathbf{\bar{v}}) + \frac{t}{2} \mathbf{\bar{u}} - \frac{t}{2} \mathbf{\bar{v}} = \left(1 + \frac{t}{2} \right) \mathbf{\bar{u}} - \left(1 + \frac{t}{2} \right) \mathbf{\bar{v}}$ - จาก D: $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DG} = (-\mathbf{\bar{u}}) - \frac{s}{2} \mathbf{\bar{v}}$ 8. เท่ากันทั้งสองสมการ: $$\left(1 + \frac{t}{2} \right) \mathbf{\bar{u}} - \left(1 + \frac{t}{2} \right) \mathbf{\bar{v}} = -\mathbf{\bar{u}} - \frac{s}{2} \mathbf{\bar{v}}$$ 9. แยกสมการเวกเตอร์: - สำหรับ $\mathbf{\bar{u}}$: $1 + \frac{t}{2} = -1 \Rightarrow \frac{t}{2} = -2 \Rightarrow t = -4$ - สำหรับ $\mathbf{\bar{v}}$: $-\left(1 + \frac{t}{2} \right) = -\frac{s}{2} \Rightarrow -\left(1 - 2 \right) = -\frac{s}{2} \Rightarrow -(-1) = -\frac{s}{2} \Rightarrow 1 = -\frac{s}{2} \Rightarrow s = -2$ 10. คำนวณเวกเตอร์ $\overrightarrow{EG}$: - $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EG}$ - $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EG}$ - จุด E: $\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AE} = 0 + (-\frac{1}{2} \mathbf{\bar{u}} + \frac{1}{2} \mathbf{\bar{v}}) = -\frac{1}{2} \mathbf{\bar{u}} + \frac{1}{2} \mathbf{\bar{v}}$ - ดังนั้น $$\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OE} = \left(1 + \frac{t}{2} \right) \mathbf{\bar{u}} - \left(1 + \frac{t}{2} \right) \mathbf{\bar{v}} - \left(-\frac{1}{2} \mathbf{\bar{u}} + \frac{1}{2} \mathbf{\bar{v}} \right) = \left(-1 - 2 + \frac{1}{2} \right) \mathbf{\bar{u}} + \left(-1 - 2 - \frac{1}{2} \right) \mathbf{\bar{v}} = -\frac{5}{2} \mathbf{\bar{u}} - \frac{7}{2} \mathbf{\bar{v}}$$ 11. สรุปคำตอบ: $$\boxed{\overrightarrow{EG} = -\frac{5}{2} \mathbf{\bar{u}} - \frac{7}{2} \mathbf{\bar{v}}}$$