**Exercice 1 :** Soit ABC un triangle, et D un point tel que $\vec{AD} = \vec{AB} - \vec{AC}$. 1. Construire D. - Partons du point A. - Pour construire D, on suit le vecteur $\vec{AB} - \vec{AC}$ à partir de A. - Cela revient à faire $\vec{AB}$ puis revenir dans la direction opposée à $\vec{AC}$. - Donc, $\vec{AD} = \vec{AB} + (-\vec{AC})$. - Graphiquement, D est obtenu en partant de B et en allant dans la direction inverse de AC par la longueur AC. 2. Montrer que $(BC) \parallel (AD)$. - Calculons $\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \vec{AC} - \vec{AB}$. - Or, $\vec{AD} = \vec{AB} - \vec{AC} = - (\vec{AC} - \vec{AB}) = -\vec{BC}$. - Ainsi, $\vec{AD}$ est colinéaire à $\vec{BC}$, donc les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles. **Exercice 2 :** Soit ABC un triangle, et P le point défini par $5 \vec{AB} + 4 \vec{PC} = \vec{0}$. 1. Placer P. - On exprime $\vec{PC}$ : $$4 \vec{PC} = -5 \vec{AB} \Rightarrow \vec{PC} = -\frac{5}{4} \vec{AB}.$$ - Comme $\vec{PC} = \vec{C} - \vec{P}$, on a: $$\vec{P} = \vec{C} - \vec{PC} = \vec{C} + \frac{5}{4} \vec{AB}.$$ - Donc, P est situé à partir de C, en avançant $\frac{5}{4}$ fois le vecteur $\vec{AB}$. 2. Montrer que ABPC est un trapèze. - Calculons $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$ et $\vec{PC} = \vec{C} - \vec{P} = -\frac{5}{4} \vec{AB}$. - $\vec{PC}$ est colinéaire et opposé à $\vec{AB}$. - Cela signifie que les segments $(AB)$ et $(PC)$ ont des directions opposées et sont donc parallèles. - Le quadrilatère ABPC a donc deux côtés parallèles et est un trapèze. **Exercice 3 :** ABC un triangle. E et F sont deux points tels que $\vec{AF} = \frac{4}{3} \vec{AC}$ et $\vec{AE} = \frac{3}{4} \vec{AB}$. 1. Construire E et F. - E est sur la droite $(AB)$ positionnée à $\frac{3}{4}$ de $\vec{AB}$ à partir de A. - F est sur la droite $(AC)$ positionné à $\frac{4}{3}$ fois $\vec{AC}$ à partir de A (donc F est au-delà de C). 2. Écrire $\vec{EC}$ et $\vec{BF}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. - $\vec{EC} = \vec{C} - \vec{E}$. - Or $\vec{E} = \vec{A} + \frac{3}{4} \vec{AB}$, donc: $$\vec{EC} = \vec{AC} - \frac{3}{4} \vec{AB}.$$ - $\vec{BF} = \vec{F} - \vec{B}$. - $\vec{F} = \vec{A} + \frac{4}{3} \vec{AC}$, donc: $$\vec{BF} = \left(\vec{A} + \frac{4}{3} \vec{AC}\right) - \vec{B} = -\vec{AB} + \frac{4}{3} \vec{AC}.$$ 3. Déduire que $(BF) \parallel (EC)$. - Calculons la relation entre $\vec{BF}$ et $\vec{EC}$: $$\vec{BF} = -\vec{AB} + \frac{4}{3} \vec{AC}, \quad \vec{EC} = \vec{AC} - \frac{3}{4} \vec{AB} = -\frac{3}{4} \vec{AB} + \vec{AC}.$$ - Regardons un facteur commun, multiplier $\vec{EC}$ par $\frac{4}{3}$: $$\frac{4}{3} \vec{EC} = \frac{4}{3} \left(-\frac{3}{4} \vec{AB} + \vec{AC}\right) = -\vec{AB} + \frac{4}{3} \vec{AC} = \vec{BF}.$$ - Ainsi, $\vec{BF} = \frac{4}{3} \vec{EC}$, ce qui prouve que $\vec{BF}$ est colinéaire à $\vec{EC}$. Donc, les droites $(BF)$ et $(EC)$ sont parallèles.