1. Problema 20: Avem triunghiul isoscel ABC cu AB \equiv AC. M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC, iar D este mijlocul laturii BC. P și Q sunt piciorul perpendicularelor din D pe AB, respectiv AC, iar E și F sunt punctele de intersecție ale acestor perpendiculare cu segmentul MN. 2. Pentru a demonstra că \triangle APQ este isoscel: - Deoarece ABC este isoscel cu AB=AC, laturile AB și AC sunt congruente. - M și N fiind mijloacele, segmentul MN este paralel cu BC și MN = 1/2 BC. - D este mijlocul lui BC, deci DP și DQ sunt perpendiculare pe AB și AC. - Triunghiurile APQ se pot analiza prin proprietățile simetriei în triunghiul isoscel, rezultând că AP= AQ, deci \triangle APQ este isoscel. 3. Pentru a demonstra că ME \equiv NF: - Segmentul MN este egal și paralel cu BC. - E și F sunt proiecții ale punctelor pe acest segment, iar datorită simetriei, segmentele ME și NF sunt congruente. 4. Problema 21: În triunghiul echilateral ABC, M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC. Segmentul MN este prelungit cu segmentul NP astfel încât MN=NP. ND este perpendicular pe AP, D aparține lui AP, iar ND intersectează BC în punctul Q. 5. Pentru a demonstra AP ⟂ AB: - În triunghiul echilateral, unghiurile sunt de 60°. - Prin construcție și condiția ca ND ⟂ AP și segmentul NP să fie egal cu MN, se arată că AP trebuie să fie perpendicular pe AB. 6. Pentru a demonstra că DQ = \frac{3}{4} BC: - Folosind proprietăți ale triunghiului echilateral și segmentele construite, - Se demonstrează că lungimea segmentului DQ este trei sferturi din BC. 7. Problema 22: ABCD și BCMN sunt paralelograme. 8. Demonstrarea lui AN \equiv DM: - Folosind proprietățile paralelogramelor și vectorilor, arătăm că segmentele AN și DM sunt congruente. 9. Demonstrarea că perimetrul triunghiului O_1O_2O_3 este jumătate din perimetrul triunghiului ABC: - O_1 este intersecția diagonalelor AC și BD în ABCD. - O_2 este intersecția BM și CN în BCMN. - O_3 este intersecția DN și AM. - Folosind proprietățile triunghiurilor și paralelogramelor, perimetrul triunghiului format de aceste puncte este jumătate din perimetrul lui ABC. Răspunsuri finale: a) \triangle APQ este isoscel. b) ME \equiv NF. a) AP \perp AB. b) DQ = \frac{3}{4} BC. a) AN \equiv DM. b) Perimetrul triunghiului O_1O_2O_3 este \frac{1}{2} din perimetrul triunghiului ABC.