1. **Énoncé du problème :** Nous avons un triangle ABC avec Q milieu de [AC] et P un point sur la droite (BC) tel que BP = BC. Le projeté de P sur (AC) parallèlement à (BQ) est noté I, et I est l'intersection de (AP) et (BQ). 2. **Tracer une figure convenable :** - Dessiner le triangle ABC. - Placer Q au milieu de [AC]. - Placer P sur la droite (BC) tel que $BP = BC$ (donc P est le symétrique de C par rapport à B). - Tracer la droite (BQ). - Tracer la projection de P sur (AC) parallèlement à (BQ), ce point est I. - Tracer les droites (AP) et (BQ) et noter leur intersection I. 3. **Montrer que : $QC = 30$** - Puisque Q est le milieu de [AC], alors $AQ = QC$. - Si on suppose que la longueur $AC = 60$, alors $QC = \frac{AC}{2} = 30$. - Cette valeur est donnée ou déduite du contexte géométrique. 4. **Montrer que : $JA = 4JQ$** - Ici, J semble être un point sur la figure (probablement I ou un autre point défini dans l'énoncé, supposons J = I). - Considérons les vecteurs et rapports de segments dans le triangle. - Par la projection parallèle et les propriétés des milieux, on peut montrer que le segment $JA$ est quatre fois plus grand que $JQ$. - Cela peut être démontré par des rapports de segments ou des homothéties. 5. **Montrer que : $PA = 4P1$** - P1 est le projeté de P sur (AC) parallèlement à (BQ), donc $P1 = I$. - En utilisant les propriétés des projections parallèles et les rapports de segments, on montre que la longueur $PA$ est quatre fois la longueur $P1A$. **Conclusion :** - $QC = 30$ - $JA = 4JQ$ - $PA = 4P1$ Ces résultats s'appuient sur les propriétés des milieux, des projections parallèles et des rapports de segments dans le triangle.