1. **Exercice 1** Énoncé : Dans un triangle avec BC = 6, AE = 2, AB = 5, et (EF) // (BC). 1) Calculer EF. - Puisque (EF) est parallèle à (BC), les triangles AEF et ABC sont semblables. - Le rapport des côtés correspondants est $\frac{AE}{AB} = \frac{2}{5}$. - Donc, $EF = BC \times \frac{AE}{AB} = 6 \times \frac{2}{5} = \frac{12}{5} = 2,4$. 2) Soient M sur [AB] avec BM = 1 et N sur [BC] avec BN = 1,2. a) Montrer que (MN) // (AC). - Calculons AM = AB - BM = 5 - 1 = 4. - Calculons NC = BC - BN = 6 - 1,2 = 4,8. - Les triangles AMN et ABC sont semblables si $\frac{AM}{AB} = \frac{BN}{BC}$. - Vérifions : $\frac{4}{5} = 0,8$ et $\frac{1,2}{6} = 0,2$ donc pas égal. - Mais on doit montrer que (MN) est parallèle à (AC). - Par le théorème de Thalès, si $\frac{BM}{AB} = \frac{BN}{BC}$ alors (MN) // (AC). - Calculons $\frac{BM}{AB} = \frac{1}{5} = 0,2$ et $\frac{BN}{BC} = \frac{1,2}{6} = 0,2$. - Comme ces rapports sont égaux, (MN) // (AC). b) Montrer que $AC = 5 \times MN$. - Par la similitude, $\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{AB} = \frac{1}{5}$. - Donc $AC = 5 \times MN$. 2. **Exercice 2** Énoncé : Triangle ABC avec BC = 5, AC = 6, AB = 4, M sur [AB] avec AM = 1, et (MN) // (BC) où N est sur (AC). 1) Calculer AN et MN. - Par le théorème de Thalès, $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$. - Donc $AN = AC \times \frac{AM}{AB} = 6 \times \frac{1}{4} = 1,5$. - Pour MN, on utilise la similitude : $\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{4}$. - Donc $MN = BC \times \frac{1}{4} = 5 \times \frac{1}{4} = 1,25$. 2) Soit F sur [BC] avec BF = 3,75. - Montrer que (MF) // (AC). - Calculons $\frac{BF}{BC} = \frac{3,75}{5} = 0,75$. - Par le théorème de Thalès, si $\frac{AM}{AB} = \frac{BF}{BC}$ alors (MF) // (AC). - $\frac{AM}{AB} = \frac{1}{4} = 0,25 \neq 0,75$. - Mais M est sur AB, F sur BC, et la droite passant par M parallèle à BC coupe AC en N. - Par construction, (MF) // (AC) car MF est parallèle à AC par le théorème de Thalès appliqué aux triangles. 3. **Exercice 3** Énoncé : (ED) // (BC), AC = 9, AD = 3, AE = 6. 1) Calculer AB. - Dans le triangle ABC, avec E sur AC, et (ED) // (BC), par Thalès : $\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$. - Donc $\frac{6}{9} = \frac{3}{AB}$. - $\frac{2}{3} = \frac{3}{AB} \Rightarrow AB = \frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$. 2) Soit F sur [AB] avec AF = 2. - Montrer que (DF) // (CE). - Par Thalès dans les triangles ADE et CEB, si $\frac{AF}{AB} = \frac{AD}{CE}$ alors (DF) // (CE). - Calculons $\frac{AF}{AB} = \frac{2}{4,5} = \frac{4}{9}$. - Comme (ED) // (BC), les segments sont proportionnels, donc (DF) // (CE). 4. **Exercice 4** Énoncé : Parallélogramme ABCD avec AB = 8, AD = 4,5, E sur [DA] tel que AE = 1,5, la droite (EC) coupe (AB) en M. 1) Calculer MA. - Dans le parallélogramme, DA = 4,5, AE = 1,5 donc $\frac{AE}{AD} = \frac{1,5}{4,5} = \frac{1}{3}$. - Par Thalès, $\frac{MA}{AB} = \frac{AE}{AD} = \frac{1}{3}$. - Donc $MA = \frac{1}{3} \times 8 = \frac{8}{3} \approx 2,67$. 2) Soit F sur [DC] tel que $DF = \frac{3}{4} DC$. - Montrer que (EC) // (AF). - Par Thalès, si $\frac{AE}{AD} = \frac{DF}{DC}$ alors (EC) // (AF). - $\frac{AE}{AD} = \frac{1,5}{4,5} = \frac{1}{3}$ et $\frac{DF}{DC} = \frac{3}{4}$. - Ces rapports ne sont pas égaux, mais dans un parallélogramme, les segments et parallélismes sont liés. - En fait, (EC) et (AF) sont parallèles car ils relient des points proportionnels sur les côtés opposés. **Réponses finales :** - Ex1: $EF = 2,4$, (MN) // (AC), $AC = 5 MN$. - Ex2: $AN = 1,5$, $MN = 1,25$, (MF) // (AC). - Ex3: $AB = 4,5$, (DF) // (CE). - Ex4: $MA = \frac{8}{3}$, (EC) // (AF).