1. Énonçons le problème : Nous avons un triangle rectangle en M avec les points M, E, D. La longueur de [ME] est le double de celle de [MD]. La longueur de [ED] est donnée comme $2\sqrt{5}$. Nous devons déterminer les mesures de [MD] et [ME]. 2. Posons $MD = x$. Alors, $ME = 2x$ car ME est le double de MD. 3. Puisque le triangle est rectangle en M, on peut appliquer le théorème de Pythagore : $$ED^2 = MD^2 + ME^2$$ 4. Substituons les valeurs : $$ (2\sqrt{5})^2 = x^2 + (2x)^2 $$ 5. Calculons le carré de $2\sqrt{5}$ : $$ (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \times (\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20 $$ 6. Donc : $$ 20 = x^2 + 4x^2 = 5x^2 $$ 7. Résolvons pour $x^2$ : $$ x^2 = \frac{20}{5} = 4 $$ 8. En prenant la racine carrée positive (car une longueur est positive) : $$ x = 2 $$ 9. Donc : $$ MD = 2 $$ $$ ME = 2x = 4 $$ Réponse finale : La mesure de $MD$ est 2 et la mesure de $ME$ est 4.