1. **Énoncé du problème :** Nous avons un triangle ABC rectangle en A avec BC = 2AC. D est le symétrique de C par rapport à la droite (AB). Nous devons : - Faire une figure. - Justifier que A est le milieu du segment [CD]. - Justifier que le triangle BCD est équilatéral. - En déduire que l'angle ABC vaut 30°. 2. **Faire une figure (conceptuelle) :** - Tracer un triangle rectangle ABC avec l'angle droit en A. - Placer C tel que BC = 2AC. - Tracer la droite (AB). - Trouver D symétrique de C par rapport à (AB). 3. **Justifier que A est le milieu de [CD] :** - Par définition de la symétrie axiale, D est le symétrique de C par rapport à (AB). - Cela signifie que (AB) est la médiatrice du segment [CD], donc A appartient à (AB) et est équidistant de C et D. - Donc, A est le milieu de [CD]. 4. **Justifier que BCD est un triangle équilatéral :** - Puisque A est le milieu de [CD], on a $AC = AD$. - Étant donné que le triangle ABC est rectangle en A, on a $\angle BAC = 90^\circ$. - La symétrie par rapport à (AB) conserve les distances et les angles. - Ainsi, les distances $BC = 2AC = 2AD$. - Les segments $BC$, $CD$, et $DB$ sont tous égaux, car $CD = 2AC$ (car A est milieu), $BC=2AC$, et $BD = BC$ par symétrie. - Donc, $BC = CD = DB$, ce qui montre que le triangle BCD est équilatéral. 5. **Déduire que l'angle ABC vaut 30° :** - Dans le triangle ABC rectangle en A avec BC = 2AC, on considère l'angle en B. - Sachant que BCD est équilatéral, l'angle $ \angle CBD = 60^\circ$. - Puisque D est symétrique de C par rapport à (AB), l'angle $ \angle ABC$ vaut la moitié de 60°, donc $30^\circ$. **Réponse finale :** $\angle ABC = 30^\circ$.