1. \textbf{הבעיה:} \text{נתון טרפז שווה שוקיים } ABCD \text{ עם } AB \parallel DC.\ נקודה } O \text{ היא אמצע האלכסון } BD.\ מקביל ל-AC עובר דרך } O \text{ וחותך } DC \text{ בנקודה } E \text{ ואת המשך } BA \text{ בנקודה } F.\ \textbf{חלק א': הוכחה כי המרובע } DFBE \text{ הוא מלבן.} 2. \text{מכיוון ש-} ABCD \text{ הוא טרפז שווה שוקיים, האלכסונים שווים: } AC=BD.\ 3. \text{O הוא אמצע } BD, \text{ ולכן } BO = OD.\ 4. \text{קו דרך } O \text{ המקביל ל-} AC \text{ חוצה את } DC \text{ בנקודה } E \text{ ואת המשך } BA \text{ בנקודה } F.\ \Rightarrow OF \parallel AC \text{ ו-} OF \parallel BE \text{ כי } BE \text{ הוא חלק מ-} AC.\ 5. \text{נבחן את } DFBE: - \text{הקווים } DF \text{ ו-} BE \text{ מקבילים (שני הקווים מקבילים ל-} AC).\ - \text{הקווים } FB \text{ ו-} DE \text{ מקבילים (זאת כי } ABCD \text{ טרפז שווה שוקיים, ואלכסונים חוצים).} 6. \text{בנוסף, } OF=3m, FD=m \text{ לפי הנתון.}\ 7. \text{כל הזוויות של } DFBE \text{ הם זוויות ישרות, מכיוון ש-} OF \text{ הוא מקביל ל-} AC \text{ ושווה לאורך, יוצרים בזוית ישרה עם שאר הצלעות בזכות סימטריה והטרפז השווה שוקיים.}\ \Rightarrow DFBE \text{ הוא מלבן.} \textbf{חלק ב': הבע את שטח המלבן והיקפו בעזרת } m. 8. \text{אורך } FD = m, \text{אורך } FO = 3m.\ 9. \text{מכיוון ש-} O \text{ אמצע } BD, FD=DF, \text{ולכן } FB = FO + OB = 3m + m = 4m.\ 10. \text{כיונו שהמלבן } DFBE \text{ יש לו שני גדלים: } FD = m \text{ ו-} FB = 4m. 11. \textbf{שטח המלבן }= FD \times FB = m \times 4m = 4m^2. 12. \textbf{היקף המלבן }= 2(FD + FB) = 2(m + 4m) = 2(5m) = 10m. \textbf{תשובות סופיות:} - \text{המרובע } DFBE \text{ הוא מלבן.} - \text{שטח המלבן }= 4m^2. - \text{היקף המלבן }= 10m.