1. 問題陳述： 如圖，梯形 ABCD 外切於圓 O，且 AB = CD，AD = 3，BC = 5，求灰色部分的面積。 2. 梯形外切圓的性質： 梯形外切圓表示梯形的四邊都與圓相切，且梯形為等腰梯形（AB = CD）。 3. 設梯形的高為 $h$，底邊 AB 和 CD 長度為 $x$，則梯形面積為： $$\text{面積} = \frac{(AB + CD)}{2} \times h = \frac{(x + x)}{2} \times h = xh$$ 4. 已知 AD = 3，BC = 5，且梯形外切圓半徑為 $r$，利用梯形外切圓的性質，梯形的周長等於圓的周長的兩倍： $$AB + BC + CD + DA = 2 \times \text{圓的周長}$$ 5. 由於 AB = CD = $x$，周長為： $$x + 5 + x + 3 = 2(2\pi r)$$ $$2x + 8 = 4\pi r$$ 6. 由題意，半徑 $r = \sqrt{5}$，代入得： $$2x + 8 = 4\pi \sqrt{5}$$ 7. 解出 $x$： $$2x = 4\pi \sqrt{5} - 8$$ $$x = 2\pi \sqrt{5} - 4$$ 8. 梯形的高 $h$ 可由三角形的幾何關係求得，因為 AD 和 BC 是梯形的兩側邊，且梯形為等腰梯形， 高 $h$ 等於 AD 的長度，即 $h = 3$。 9. 因此梯形面積為： $$\text{面積} = x \times h = (2\pi \sqrt{5} - 4) \times 3 = 6\pi \sqrt{5} - 12$$ 10. 圓的面積為： $$\pi r^2 = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi$$ 11. 灰色部分為梯形面積減去圓面積： $$6\pi \sqrt{5} - 12 - 5\pi = 6\pi \sqrt{5} - 5\pi - 12$$ 12. 答案：灰色部分的面積為 $$6\pi \sqrt{5} - 5\pi - 12$$。