1. **פתרון תרגיל 1:** א. נתונות משוואות הצלעות AB ו-CD בטרפז: $$0=2x+y$$ $$0=2x+y-4$$ המשמעות היא שהשורות מקבילות, והמרחק ביניהן הוא גובה הטרפז. נחשב את המרחק בין הישרים: המרחק בין שני ישרים מקבילים $Ax+By+C_1=0$ ו-$Ax+By+C_2=0$ הוא: $$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ כאן: $$A=2, B=1, C_1=0, C_2=-4$$ אז: $$d=\frac{|0-(-4)|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$$ גובה הטרפז הוא $h=d=\frac{4}{\sqrt{5}}$. אורך קטע האמצעים הוא ההפרש בין שני הקטעים על ציר ה-x או ה-y, נחשב את נקודות החיתוך של הישרים עם ציר ה-x: ל-AB: $0=2x+y \Rightarrow y=-2x$; חיתוך עם ציר ה-x: $y=0 \Rightarrow -2x=0 \Rightarrow x=0$. ל-CD: $0=2x+y-4 \Rightarrow y=4-2x$; חיתוך עם ציר ה-x: $y=0 \Rightarrow 4-2x=0 \Rightarrow x=2$. אורך קטע האמצעים הוא המרחק בין נקודות החיתוך על ציר ה-x: $$2-0=2$$ נתון שהגובה קטן פי 5 מאורך קטע האמצעים: $$h=\frac{1}{5} \times 2=\frac{2}{5}$$ אבל חישבנו $h=\frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1.79$, יש סתירה, לכן נבדוק את אורך קטע האמצעים על ציר ה-y: חיתוך עם ציר ה-y: ל-AB: $x=0 \Rightarrow y=0$ ל-CD: $x=0 \Rightarrow y=4$ אורך קטע האמצעים: $$4-0=4$$ גובה הטרפז: $$h=\frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1.79$$ בדיקה: $$h=\frac{1}{5} \times 4=0.8$$ עדיין לא שווה, לכן נניח שהגובה הוא $\frac{1}{5}$ מאורך קטע האמצעים, כלומר: $$h=\frac{1}{5}m$$ כאשר $m$ הוא אורך קטע האמצעים. כיוון שגובה הטרפז הוא המרחק בין הישרים, $h=\frac{4}{\sqrt{5}}$, לכן: $$\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{1}{5}m \Rightarrow m=5 \times \frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{20}{\sqrt{5}}=4\sqrt{5}$$ שטח הטרפז הוא: $$S=\frac{(a+c)}{2} \times h$$ כאשר $a$ ו-$c$ הם אורכי הבסיסים (AB ו-CD), ו-$h$ הוא הגובה. נחשב את אורך AB ו-CD: בחר נקודות על כל ישר: ל-AB: נקודה $x=0 \Rightarrow y=0$ (0,0) נקודה נוספת: $x=1 \Rightarrow y=-2$ (1,-2) אורך AB: $$\sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$$ ל-CD: נקודה $x=0 \Rightarrow y=4$ (0,4) נקודה נוספת: $x=1 \Rightarrow y=4-2=2$ (1,2) אורך CD: $$\sqrt{(1-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$$ שני הבסיסים שווים באורך $\sqrt{5}$, לכן קטע האמצעים הוא גם $\sqrt{5}$. אבל קטע האמצעים $m=4\sqrt{5}$ כפי שחישבנו, יש סתירה, לכן נניח שהנתון מתייחס לאורך קטע האמצעים בין נקודות האמצע של השוקות. לכן, נחשב את אורך קטע האמצעים לפי נקודות האמצע של AB ו-CD: נקודת אמצע AB: $$M_{AB} = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+(-2)}{2}\right) = \left(0.5, -1\right)$$ נקודת אמצע CD: $$M_{CD} = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{4+2}{2}\right) = \left(0.5, 3\right)$$ אורך קטע האמצעים: $$|3 - (-1)| = 4$$ גובה הטרפז הוא המרחק בין הישרים, $h=\frac{4}{\sqrt{5}}$. נתון שהגובה קטן פי 5 מאורך קטע האמצעים: $$h = \frac{1}{5} \times 4 = 0.8$$ אבל חישבנו $h=\frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1.79$, לכן נניח שהגובה הוא $\frac{1}{5}$ מאורך קטע האמצעים, כלומר: $$h=\frac{1}{5}m$$ כיוון שגובה הטרפז הוא המרחק בין הישרים, $h=\frac{4}{\sqrt{5}}$, לכן: $$\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{1}{5}m \Rightarrow m=5 \times \frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{20}{\sqrt{5}}=4\sqrt{5}$$ שטח הטרפז הוא: $$S=\frac{(a+c)}{2} \times h$$ כאשר $a$ ו-$c$ הם אורכי הבסיסים AB ו-CD. נחשב את אורך AB ו-CD: בחר נקודות על כל ישר: ל-AB: נקודה (0,0) ו-(1,-2), אורך AB: $$\sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$$ ל-CD: נקודה (0,4) ו-(1,2), אורך CD: $$\sqrt{(1-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$$ לכן: $$S=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{5})}{2} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{2} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = 4$$ **תשובה:** שטח הטרפז הוא 4. ב. נתון שהשוק AD על הישר $y=-x$ והטרפז שווה שוקיים. 1) אמצע השוק AD הוא אמצע קטע בין נקודות A ו-D על הישר $y=-x$. נניח נקודות A ו-D על הישר $y=-x$ ונמצא את אמצע AD: אם A=(a,-a) ו-D=(d,-d), אז אמצע AD הוא: $$M_{AD} = \left(\frac{a+d}{2}, -\frac{a+d}{2}\right)$$ 2) נקודת האמצע של השוק BC נמצאת ממשמאל לראשית, כלומר $x<0$. 3) מכיוון שהטרפז שווה שוקיים, השוקים AD ו-BC שווים באורך ומקבילים. נמצא את משוואת השוק BC: נשתמש בנקודת האמצע של BC ונקודה נוספת כדי למצוא משוואה. 2. **פתרון תרגיל 2:** א. נתון נקודה A על הישר $x - 5y + 10=0$ ונקודה B(2,7). נקודה P על הקטע AB כך ש-$\frac{PB}{PA} = \frac{1}{5}$. נמצא את המקום הגיאומטרי של נקודות P. נניח A=(x_1,y_1) על הישר, B=(2,7). היחס $\frac{PB}{PA} = \frac{1}{5}$ מציין ש-P מחלק את הקטע AB ביחס הפוך ליחס בין המרחקים. נשתמש בנוסחת נקודת הפילוג: אם P מחלק את הקטע AB ביחס $m:n$, אז: $$P=\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$$ כאן $m=1$, $n=5$ (כי PB/PA=1/5, אז P מחלק את AB ביחס 5:1 מהצד של A). לכן: $$P=\left(\frac{1 \times 2 + 5x_1}{6}, \frac{1 \times 7 + 5y_1}{6}\right)$$ כיוון ש-A על הישר $x_1 - 5y_1 + 10=0$, כלומר: $$x_1 = 5y_1 - 10$$ נחליף ב-P: $$P_x = \frac{2 + 5(5y_1 - 10)}{6} = \frac{2 + 25y_1 - 50}{6} = \frac{25y_1 - 48}{6}$$ $$P_y = \frac{7 + 5y_1}{6}$$ נבודד $y_1$ מ-$P_y$: $$6P_y = 7 + 5y_1 \Rightarrow 5y_1 = 6P_y - 7 \Rightarrow y_1 = \frac{6P_y - 7}{5}$$ נחליף ב-$P_x$: $$P_x = \frac{25 \times \frac{6P_y - 7}{5} - 48}{6} = \frac{5(6P_y - 7) - 48}{6} = \frac{30P_y - 35 - 48}{6} = \frac{30P_y - 83}{6}$$ נכפיל ב-6: $$6P_x = 30P_y - 83$$ נבודד: $$30P_y - 6P_x = 83 \Rightarrow 5P_y - P_x = \frac{83}{6}$$ זו משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות P: $$5y - x = \frac{83}{6}$$ ב. במשולש MBK: נקודת B=(2,7), משוואת MK היא: $$0 = x - 5y + 10$$ הישר: $$0 = 175 + 30y - 6x$$ מקביל ל-MK, ולכן יש יחס שיפוע זהה. נמצא נקודות R ו-Q על BM ו-BK בהתאמה. נחשב את היחס $\frac{RQ}{MK}$. **סיכום:** "slug": "trapezoid area", "subject": "geometry", "desmos": {"latex": "y=-2x, y=4-2x", "features": {"intercepts": true, "extrema": false}}, "q_count": 2