1. Bài toán: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA=2MS. Một phép chiếu song song theo phương MO lên mp(ABCD) biến điểm S thành điểm N. Tính tỉ số $\frac{AN}{AC}$.\n\n2. Phân tích:\n- Vì đáy ABCD là hình bình hành, ta có các tính chất về trung điểm và vectơ.\n- Điểm M trên SA sao cho $MA=2MS$ nghĩa là M chia đoạn SA theo tỉ lệ 2:1 từ A đến S.\n- Phép chiếu song song theo phương MO lên mp(ABCD) biến S thành N, tức là N là hình chiếu của S theo phương song song với MO trên mặt phẳng đáy.\n\n3. Gọi vectơ: $\vec{SA} = \vec{a}$, $\vec{SC} = \vec{c}$, $\vec{SM} = \vec{m}$, $\vec{SN} = \vec{n}$.\n- Vì M nằm trên SA và $MA=2MS$, ta có vectơ $\vec{SM} = \frac{2}{3} \vec{SA} = \frac{2}{3} \vec{a}$.\n\n4. Phép chiếu song song theo phương MO lên mp(ABCD) biến S thành N:\n- Phương chiếu là vectơ $\vec{MO}$.\n- Vì O là tâm hình bình hành, $\vec{SO} = \frac{1}{2}(\vec{SA} + \vec{SC}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})$.\n- Phương chiếu là $\vec{MO} = \vec{MO} = \vec{MO} = \vec{MO}$. Nhưng M nằm trên SA, $\vec{SM} = \frac{2}{3} \vec{a}$, nên $\vec{MO} = \vec{SO} - \vec{SM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) - \frac{2}{3} \vec{a} = \left(\frac{1}{2} - \frac{2}{3}\right) \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c} = -\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$.\n\n5. Gọi $\vec{SN} = \vec{S} + t \vec{MO}$ là điểm chiếu của S theo phương $\vec{MO}$ lên mp(ABCD). Vì N nằm trên mp(ABCD), tức là $\vec{SN} = \vec{AN} = \vec{a} + s \vec{c}$ với một số thực s.\n\n6. Ta có phương trình: $$\vec{SN} = \vec{S} + t \vec{MO} = \vec{S} + t \left(-\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}\right) = \vec{a} + s \vec{c}.$$\nVì $\vec{S} = \vec{0}$ (gốc vectơ tại S), nên $$t \left(-\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}\right) = \vec{a} + s \vec{c}.$$\n\n7. So sánh hệ số vectơ:\n- Hệ số $\vec{a}$: $-\frac{t}{6} = 1 \Rightarrow t = -6$.\n- Hệ số $\vec{c}$: $\frac{t}{2} = s \Rightarrow s = \frac{-6}{2} = -3$.\n\n8. Vậy $\vec{AN} = \vec{a} + s \vec{c} = \vec{a} - 3 \vec{c}$.\n\n9. Tính tỉ số $\frac{AN}{AC}$:\n- $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$.\n- Độ dài $AN = |\vec{AN}| = |\vec{a} - 3 \vec{c}|$.\n- Độ dài $AC = |\vec{AC}| = |\vec{c} - \vec{a}|$.\n\n10. Vì $\vec{a}$ và $\vec{c}$ là vectơ đáy hình bình hành, ta xét tỉ số theo vectơ:\n$$\frac{AN}{AC} = \frac{|\vec{a} - 3 \vec{c}|}{|\vec{c} - \vec{a}|} = \frac{|\vec{a} - 3 \vec{c}|}{|-(\vec{a} - \vec{c})|} = \frac{|\vec{a} - 3 \vec{c}|}{|\vec{a} - \vec{c}|}.$$\n\n11. Nếu lấy chuẩn vectơ $|\vec{a} - \vec{c}| = 1$ thì $|\vec{a} - 3 \vec{c}| = ?$\n- Tuy nhiên, không có thêm dữ kiện về độ dài hoặc góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{c}$, ta không thể tính chính xác giá trị số.\n\n12. Kết luận: Tỉ số $\frac{AN}{AC} = \frac{|\vec{a} - 3 \vec{c}|}{|\vec{a} - \vec{c}|}$, biểu diễn theo vectơ đáy hình bình hành.