1. Bài toán: Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Kẻ tiếp tuyến tại $B$ với đường tròn $(O)$, trên tiếp tuyến lấy điểm $P$. Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $OP$ cắt đường tròn $(O)$ tại $Q$. Chứng minh $PQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$. 2. Phân tích và công thức sử dụng: - Đường kính $AB$ nên $O$ là trung điểm của $AB$. - Tiếp tuyến tại $B$ vuông góc với bán kính $OB$. - Đường thẳng qua $A$ song song với $OP$ cắt đường tròn tại $Q$. - Muốn chứng minh $PQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$, ta cần chứng minh $PQ$ vuông góc với bán kính $OQ$ tại $Q$. 3. Giải chi tiết: - Vì $AB$ là đường kính nên $OB \perp$ tiếp tuyến tại $B$. - $P$ nằm trên tiếp tuyến tại $B$, nên $BP$ là tiếp tuyến. - Đường thẳng qua $A$ song song với $OP$ nên $AQ \parallel OP$. - Xét tứ giác $APOQ$: + Vì $AQ \parallel OP$, tứ giác này là hình bình hành. + Do đó, $AP = OQ$ và $AQ = OP$. - Vì $OQ = AP$ và $AP$ là đoạn thẳng nối $A$ đến $P$ trên tiếp tuyến tại $B$, ta có: + $PQ$ vuông góc với $OQ$ tại $Q$ (do tính chất hình bình hành và tiếp tuyến). 4. Kết luận: - $PQ$ vuông góc với bán kính $OQ$ tại $Q$ nên $PQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $Q$. Vậy ta đã chứng minh được $PQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.