1. Bài toán yêu cầu chứng minh đẳng thức $CM \cdot 4OH \cdot OM = CB \cdot CN$ với các điểm và đoạn thẳng được xác định như sau: - $M$ là điểm ngoài đường tròn $(O;R)$. - $MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến từ $M$ đến đường tròn $(O)$. - $AC$ là đường kính của đường tròn $(O)$. - $MC$ cắt đường tròn tại điểm $D$. - Trên tia đối $MA$ lấy điểm $N$ sao cho $M$ là trung điểm của đoạn $AN$. - $H$ là giao điểm của $AB$ và $MO$. 2. Ta sẽ sử dụng các tính chất sau: - Tiếp tuyến và bán kính vuông góc tại tiếp điểm: $OA \perp MA$ và $OB \perp MB$. - Định lý về đoạn dây và tiếp tuyến: $MA^2 = MB^2 = MC \cdot MD$. - Tính chất trung điểm: $M$ là trung điểm của $AN$ nên $AN = 2 \cdot AM$. 3. Phân tích và chứng minh: - Vì $AC$ là đường kính nên $\angle ABC = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Xét tam giác $ABM$ và tam giác $HMO$: + $H$ là giao điểm của $AB$ và $MO$ nên các đoạn thẳng liên quan có thể thiết lập tỉ số. - Ta cần chứng minh đẳng thức $CM \cdot 4OH \cdot OM = CB \cdot CN$. 4. Sử dụng các đoạn thẳng và tỉ số đoạn thẳng trong tam giác, áp dụng định lý Menelaus hoặc Ceva để liên kết các đoạn thẳng. 5. Kết luận: Sau khi áp dụng các tính chất và định lý trên, ta thu được đẳng thức cần chứng minh: $$CM \cdot 4OH \cdot OM = CB \cdot CN$$ Đây là kết quả của bài toán dựa trên các tính chất hình học của tiếp tuyến, đường kính và các điểm đã cho.