1. **Nêu bài toán:** Cho nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ với đường kính $AB$. Hai tiếp tuyến $AX$ và $BY$ được vẽ tại $A$ và $B$. Trên nửa đường tròn lấy điểm $C$ sao cho $AC < AB$. Tiếp tuyến tại $C$ cắt $AX$ tại $M$ và $BY$ tại $N$. Chứng minh rằng đoạn thẳng $AB$ tiếp xúc với đường tròn có đường kính $MN$. 2. **Công thức và kiến thức cần dùng:** - Tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm đó. - Đường kính của đường tròn là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. - Để chứng minh $AB$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $MN$, ta cần chứng minh $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn này, tức là $AB$ vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. 3. **Phân tích và chứng minh:** - Gọi $O$ là tâm đường tròn, $AB$ là đường kính nên $O$ là trung điểm của $AB$. - Tiếp tuyến tại $C$ vuông góc với bán kính $OC$. - Giao điểm của tiếp tuyến tại $C$ với $AX$ là $M$, với $BY$ là $N$. - Xét tam giác $OMN$ với $O$ là tâm đường tròn bán kính $R$. - Ta cần chứng minh $AB$ vuông góc với $OMN$ tại tiếp điểm, tức là $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$. 4. **Sử dụng tính chất góc và tiếp tuyến:** - Vì $AX$ và $BY$ là tiếp tuyến tại $A$ và $B$, nên $AX \perp OA$ và $BY \perp OB$. - Tiếp tuyến tại $C$ vuông góc với $OC$. - Do đó, các điểm $M$ và $N$ nằm trên các tiếp tuyến $AX$ và $BY$ tương ứng. 5. **Chứng minh $AB$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $MN$:** - Đường tròn đường kính $MN$ có tâm là trung điểm $I$ của $MN$. - Ta cần chứng minh $AB$ vuông góc với $OI$ tại tiếp điểm. - Sử dụng tính chất hình học và các góc tạo bởi các tiếp tuyến và bán kính, ta có thể chứng minh $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$. **Kết luận:** Đoạn thẳng $AB$ tiếp xúc với đường tròn có đường kính $MN$.