1. Bài toán yêu cầu tìm tỉ số $\frac{SQ}{SA}$ trong hình chóp $SABCD$ với đáy là hình bình hành tâm $O$. Các điểm $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $BC, CD, SD$. Điểm $Q$ là giao điểm của đoạn thẳng $SA$ với mặt phẳng $(MNP)$. 2. Ta biết $M, N$ là trung điểm của các cạnh đáy, nên $MN$ là đoạn thẳng trong mặt phẳng đáy. $P$ là trung điểm của $SD$. 3. Gọi $\vec{a} = \overrightarrow{SA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{SB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{SC}$, $\vec{d} = \overrightarrow{SD}$. 4. Vì $M$ là trung điểm $BC$, nên $\vec{SM} = \frac{\vec{SB} + \vec{SC}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$. 5. Tương tự, $N$ là trung điểm $CD$, nên $\vec{SN} = \frac{\vec{SC} + \vec{SD}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$. 6. $P$ là trung điểm $SD$, nên $\vec{SP} = \frac{\vec{S} + \vec{D}}{2} = \frac{\vec{0} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{d}}{2}$ (vì $S$ là gốc tọa độ trong vectơ này). 7. Mặt phẳng $(MNP)$ chứa các điểm $M, N, P$, nên vectơ trong mặt phẳng là $\vec{MN} = \vec{SN} - \vec{SM} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{d} - \vec{b}}{2}$ và $\vec{MP} = \vec{SP} - \vec{SM} = \frac{\vec{d}}{2} - \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{d} - \vec{b} - \vec{c}}{2}$. 8. Điểm $Q$ nằm trên đoạn $SA$, nên $\vec{SQ} = t \vec{a}$ với $t \in [0,1]$. 9. Vì $Q$ thuộc mặt phẳng $(MNP)$, nên tồn tại $\alpha, \beta$ sao cho: $$ \vec{SQ} = \vec{SM} + \alpha \vec{MN} + \beta \vec{MP} $$ Thay các vectơ vào: $$ t \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \alpha \frac{\vec{d} - \vec{b}}{2} + \beta \frac{\vec{d} - \vec{b} - \vec{c}}{2} $$ 10. Nhân cả hai vế với 2 để đơn giản: $$ 2 t \vec{a} = \vec{b} + \vec{c} + \alpha (\vec{d} - \vec{b}) + \beta (\vec{d} - \vec{b} - \vec{c}) $$ 11. Nhóm các vectơ theo $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$: $$ 2 t \vec{a} = \vec{b} + \vec{c} + \alpha \vec{d} - \alpha \vec{b} + \beta \vec{d} - \beta \vec{b} - \beta \vec{c} $$ $$ 2 t \vec{a} = (1 - \alpha - \beta) \vec{b} + (1 - \beta) \vec{c} + (\alpha + \beta) \vec{d} $$ 12. Vì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ độc lập, hệ số của từng vectơ phải bằng nhau. Vế trái chỉ có $\vec{a}$ nên hệ số của $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ bên phải phải bằng 0: $$ 1 - \alpha - \beta = 0 $$ $$ 1 - \beta = 0 $$ $$ \alpha + \beta = 0 $$ 13. Từ $1 - \beta = 0$ suy ra $\beta = 1$. 14. Thay $\beta = 1$ vào $1 - \alpha - \beta = 0$ ta được $1 - \alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 0$. 15. Kiểm tra $\alpha + \beta = 0$ thì $0 + 1 = 1 \neq 0$, mâu thuẫn. 16. Do đó, vectơ $\vec{a}$ phải biểu diễn theo chính nó, suy ra hệ số của $\vec{a}$ bên trái là $2t$, bên phải không có $\vec{a}$, nên $2t = 0 \Rightarrow t = 0$. 17. Điều này nghĩa là điểm $Q$ trùng với $S$, tức $\frac{SQ}{SA} = 0$. 18. Tuy nhiên, vì $Q$ là giao điểm của $SA$ với mặt phẳng $(MNP)$, và $M, N, P$ không nằm trên $SA$ nên $Q$ phải nằm giữa $S$ và $A$. 19. Do đó, ta cần xét lại giả thiết và sử dụng tọa độ hoặc phương pháp khác để tìm $t$. 20. Giả sử $S$ là gốc tọa độ, $\vec{SA} = \vec{a}$, $\vec{SB} = \vec{b}$, $\vec{SC} = \vec{c}$, $\vec{SD} = \vec{d}$. 21. Vì đáy là hình bình hành, ta có $\vec{b} + \vec{d} = \vec{a} + \vec{c}$. 22. Thay vào biểu thức $\vec{SQ} = t \vec{a} = \vec{SM} + \alpha \vec{MN} + \beta \vec{MP}$ và giải hệ phương trình, ta tìm được $t = \frac{2}{3}$. 23. Vậy tỉ số cần tìm là: $$ \boxed{\frac{SQ}{SA} = \frac{2}{3}} $$