1. **Nêu bài toán:** Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh: a) Tam giác AMB = tam giác EMC b) AC vuông góc với CE c) BC = 2 * AM 2. **Phân tích và chứng minh từng phần:** **a) Chứng minh tam giác AMB = tam giác EMC** - Ta có M là trung điểm của BC nên BM = MC. - Theo giả thiết, E nằm trên tia đối của tia AM sao cho ME = MA. - Xét hai tam giác AMB và EMC: + MA = ME (giả thiết) + BM = MC (M là trung điểm) + Góc AMB và góc EMC là góc đối đỉnh nên bằng nhau. - Do đó, theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c), ta có $$\triangle AMB = \triangle EMC$$. **b) Chứng minh AC vuông góc với CE** - Vì tam giác ABC vuông tại A nên $$\angle BAC = 90^\circ$$. - Ta đã chứng minh $$\triangle AMB = \triangle EMC$$ nên $$\angle BAM = \angle CEM$$. - Do E nằm trên tia đối của AM nên $$\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AM}$$. - Xét vectơ $$\overrightarrow{AC}$$ và $$\overrightarrow{CE}$$: + $$\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{ME} = -\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{ME}$$. + Vì M là trung điểm BC nên $$\overrightarrow{MC} = -\overrightarrow{BM}$$. + Suy ra $$\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{ME}$$. - Từ các vectơ và góc vuông tại A, ta suy ra $$\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{CE}$$, tức là AC vuông góc với CE. **c) Chứng minh BC = 2 * AM** - Vì M là trung điểm của BC nên $$BC = 2 * BM$$. - Từ tam giác AMB và EMC bằng nhau, ta có $$AM = EM$$ và $$BM = MC$$. - Do E nằm trên tia đối của AM và ME = MA nên $$AM = ME$$. - Từ đó, $$BC = 2 * BM = 2 * AM$$. **Kết luận:** - a) $$\triangle AMB = \triangle EMC$$ - b) AC vuông góc với CE - c) $$BC = 2 * AM$$