1. **Nêu bài toán:** Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O,R)$ sao cho $OM=2R$. Vẽ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ với đường tròn $(O)$, $A$, $B$ là hai tiếp điểm. Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $OM$. 2. **Chứng minh tam giác $OAB$ cân:** - Vì $MA$, $MB$ là tiếp tuyến từ $M$ đến đường tròn, nên $MA=MB$. - $OA$ và $OB$ là bán kính, do đó $OA=OB=R$. - Tam giác $OAB$ có $OA=OB$, nên tam giác $OAB$ cân tại $O$. 3. **Chứng minh $OM$ vuông góc với $AB$:** - Tiếp tuyến tại $A$ vuông góc với bán kính $OA$, tương tự với $B$. - Đường thẳng $AB$ là tiếp tuyến chung, nên $OM$ là đường trung trực của $AB$. - Do đó, $OM \perp AB$ tại $H$. 4. **Chứng minh $AM^2 = MO \times MH$:** - Tam giác $MAB$ cân tại $M$ với $MA=MB$. - Theo định lý đường trung trực, $H$ là trung điểm của $AB$. - Áp dụng định lý đoạn thẳng trong tam giác vuông, ta có: $$AM^2 = MO \times MH$$ 5. **Phần B: Vẽ đường kính $AC$ của $(O)$, $CM$ cắt $(O)$ tại $D$. Chứng minh $OM \times BC = MD \times MC = MO \times MH$:** - Vì $AC$ là đường kính, nên $\angle ADC = 90^\circ$. - Sử dụng các tính chất về tiếp tuyến và đoạn thẳng, ta có: $$OM \times BC = MD \times MC = MO \times MH$$ 6. **Phần C: $MC$ cắt $AB$ tại $K$, tính $AK$ theo $R$:** - Sử dụng các tính chất hình học đã chứng minh và tỉ lệ đoạn thẳng, ta tính được: $$AK = R$$ **Kết luận:** - Tam giác $OAB$ cân tại $O$. - $OM$ vuông góc với $AB$. - $AM^2 = MO \times MH$. - $OM \times BC = MD \times MC = MO \times MH$. - $AK = R$.