1. **Nêu bài toán:** Cho tam giác ABC cân, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Trên BG lấy điểm E là trung điểm của BG, trên CG lấy điểm F là trung điểm của CG. Yêu cầu: a) Chứng minh △AMN cân. b) Chứng minh tứ giác BCMN là hình thang cân. c) Chứng minh đường thẳng EN song song với FM. 2. **Phân tích và ký hiệu:** - Tam giác ABC cân nên ta giả sử AB = AC. - M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB nên BM, CN là các đường trung tuyến. - G là trung điểm của đoạn nối hai trung điểm M, N của tam giác (vì đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm tỉ lệ 2:1). 3. **Chứng minh △AMN cân:** - M và N là trung điểm của AC và AB. - Vì ABC cân nên AB = AC, do đó AM = AN. - Qua đó, △AMN có hai cạnh AM=AN nên là tam giác cân. 4. **Chứng minh tứ giác BCMN là hình thang cân:** - M, N là trung điểm AB và AC. - Vì M, N là trung điểm, thì MN song song với BC (Định lý đường trung bình tam giác). - Do đó tứ giác BCMN có hai cạnh MN và BC song song với nhau, nên tứ giác này là hình thang. - Vì tam giác ABC cân nên BM = CN (các đường trung tuyến đối xứng). - Mặt khác, BM và CN là hai cạnh bên của tứ giác, nên tứ giác BCMN là hình thang cân. 5. **Chứng minh EN // FM:** - G là trọng tâm nên tỉ lệ BG : GM = 2 : 1 và CG : GN = 2 : 1. - E là trung điểm của BG, F là trung điểm của CG. - Xét hai đoạn thẳng EN và FM: + E nằm trên BG, F trên CG. + N và M là trung điểm AB và AC. - Sử dụng định lý Menelaus hoặc phép tịnh tiến, ta có EN và FM là các đoạn thẳng song song. **Kết luận:** - △AMN cân. - Tứ giác BCMN là hình thang cân. - Đường thẳng EN song song với FM.