1. Bài toán: Cho hình chóp $SABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Trên cạnh $SA$ lấy điểm $M$ sao cho $MA=2MS$. Một phép chiếu song song theo phương $MO$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ biến điểm $S$ thành điểm $N$. Tính tỉ số $\frac{AN}{AC}$.\n\n2. Phân tích:\n- Vì $M$ nằm trên đoạn $SA$ và $MA=2MS$, ta có thể biểu diễn $M$ theo $S$ và $A$.\n- Phép chiếu song song theo phương $MO$ biến $S$ thành $N$ trên mặt phẳng đáy $(ABCD)$.\n- Tính $AN$ và $AC$ để tìm tỉ số yêu cầu.\n\n3. Gọi $\vec{SA} = \vec{a}$, $\vec{SC} = \vec{c}$, $\vec{SO} = \vec{o}$. Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$, ta có $\vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}$.\n\n4. Xác định điểm $M$:\n\n$M$ nằm trên $SA$ sao cho $MA=2MS$. Gọi $\vec{SM} = t \vec{SA} = t \vec{a}$.\n\nTa có $MA = |\vec{A} - \vec{M}| = |\vec{a} - t \vec{a}| = |1 - t| |\vec{a}|$\n$MS = |\vec{M} - \vec{S}| = |t \vec{a}| = t |\vec{a}|$\n\nTheo đề bài: $MA = 2 MS \Rightarrow |1 - t| = 2 t$. Vì $M$ nằm giữa $S$ và $A$, $t \in (0,1)$, nên $1 - t = 2 t \Rightarrow 1 = 3 t \Rightarrow t = \frac{1}{3}$.\n\nVậy $\vec{SM} = \frac{1}{3} \vec{a}$.\n\n5. Phép chiếu song song theo phương $MO$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ biến $S$ thành $N$.\n\nPhương chiếu là $\vec{MO} = \vec{O} - \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} - \left( \vec{S} + \frac{1}{3} \vec{a} \right) = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} - \left( \vec{S} + \frac{1}{3} (\vec{A} - \vec{S}) \right)$.\n\nTính:\n$$\vec{M} = \vec{S} + \frac{1}{3} (\vec{A} - \vec{S}) = \frac{2}{3} \vec{S} + \frac{1}{3} \vec{A}$$\n$$\vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}$$\n\nVậy:\n$$\vec{MO} = \vec{O} - \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} - \left( \frac{2}{3} \vec{S} + \frac{1}{3} \vec{A} \right) = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} - \frac{2}{3} \vec{S} - \frac{1}{3} \vec{A} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{C} - \frac{2}{3} \vec{S} = \frac{1}{6} \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{C} - \frac{2}{3} \vec{S}$$\n\n6. Gọi $\vec{SN} = \lambda \vec{MO}$ vì $N$ là hình chiếu của $S$ theo phương $MO$.\n\nĐiểm $N$ nằm trên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên $\vec{ON} \cdot \vec{n} = 0$ với $\vec{n}$ là pháp tuyến mặt phẳng đáy. Vì đáy là hình bình hành, ta có thể biểu diễn $N$ theo $A$ và $C$.\n\n7. Tính $\vec{SN}$:\n$$\vec{SN} = \lambda \vec{MO} = \lambda \left( \frac{1}{6} \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{C} - \frac{2}{3} \vec{S} \right)$$\n\nVì $\vec{SN} = \vec{N} - \vec{S}$, ta có:\n$$\vec{N} = \vec{S} + \vec{SN} = \vec{S} + \lambda \left( \frac{1}{6} \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{C} - \frac{2}{3} \vec{S} \right) = \vec{S} \left( 1 - \frac{2}{3} \lambda \right) + \lambda \left( \frac{1}{6} \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{C} \right)$$\n\n8. Vì $N$ thuộc mặt phẳng đáy nên $\vec{N}$ có thể biểu diễn dưới dạng:\n$$\vec{N} = \alpha \vec{A} + \beta \vec{C}$$\n\nSo sánh với biểu thức trên, hệ phương trình:\n$$\vec{S} \left( 1 - \frac{2}{3} \lambda \right) + \lambda \left( \frac{1}{6} \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{C} \right) = \alpha \vec{A} + \beta \vec{C}$$\n\nVì $\vec{S}, \vec{A}, \vec{C}$ độc lập, hệ phương trình tương đương:\n$$1 - \frac{2}{3} \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$$\n$$\alpha = \lambda \frac{1}{6} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{4}$$\n$$\beta = \lambda \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$$\n\n9. Vậy:\n$$\vec{N} = \frac{1}{4} \vec{A} + \frac{3}{4} \vec{C}$$\n\n10. Tính tỉ số $\frac{AN}{AC}$:\n\nTa có $\vec{AN} = \vec{N} - \vec{A} = \frac{1}{4} \vec{A} + \frac{3}{4} \vec{C} - \vec{A} = -\frac{3}{4} \vec{A} + \frac{3}{4} \vec{C} = \frac{3}{4} (\vec{C} - \vec{A})$.\n\nVà $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}$.\n\nDo đó:\n$$\frac{AN}{AC} = \frac{|\vec{AN}|}{|\vec{AC}|} = \frac{3}{4}$$\n\n**Kết luận:** Tỉ số $\frac{AN}{AC} = \frac{3}{4}$.