1. Énoncé du problème : Trouver l'équation de la troisième route passant par le point d'intersection des deux premières routes et perpendiculaire à la route auxiliaire. 2. Trouvons le point d'intersection des deux premières routes : - Première route : $4x - 3y + 14 = 0$ - Deuxième route : $x + y - 2 = 0$ 3. Exprimons $y$ de la deuxième équation : $$y = 2 - x$$ 4. Substituons dans la première équation : $$4x - 3(2 - x) + 14 = 0$$ $$4x - 6 + 3x + 14 = 0$$ $$7x + 8 = 0$$ $$7x = -8$$ $$x = -\frac{8}{7}$$ 5. Calculons $y$ : $$y = 2 - \left(-\frac{8}{7}\right) = 2 + \frac{8}{7} = \frac{14}{7} + \frac{8}{7} = \frac{22}{7}$$ 6. Le point d'intersection est $\left(-\frac{8}{7}, \frac{22}{7}\right)$. 7. Équation de la route auxiliaire : $5x - 13y + 2 = 0$. 8. Trouvons la pente de la route auxiliaire : $$5x - 13y + 2 = 0 \Rightarrow -13y = -5x - 2 \Rightarrow y = \frac{5}{13}x + \frac{2}{13}$$ 9. La pente est $m_a = \frac{5}{13}$. 10. La droite perpendiculaire aura la pente $m_p = -\frac{1}{m_a} = -\frac{13}{5}$. 11. Équation de la troisième route passant par $\left(-\frac{8}{7}, \frac{22}{7}\right)$ avec pente $m_p$ : $$y - \frac{22}{7} = -\frac{13}{5}\left(x + \frac{8}{7}\right)$$ 12. Multiplier pour éliminer les fractions : $$y - \frac{22}{7} = -\frac{13}{5}x - \frac{104}{35}$$ 13. Mise en forme : $$y = -\frac{13}{5}x - \frac{104}{35} + \frac{22}{7}$$ $$\frac{22}{7} = \frac{110}{35}$$ $$y = -\frac{13}{5}x + \frac{6}{35}$$ 14. Remettons sous forme standard $Ax + By + C = 0$ : $$y = -\frac{13}{5}x + \frac{6}{35} \Rightarrow \frac{13}{5}x + y - \frac{6}{35} = 0$$ 15. Multiplions par 35 pour avoir des coefficients entiers : $$35 \times \frac{13}{5}x + 35y - 6 = 0$$ $$7 \times 13x + 35y - 6 = 0$$ $$91x + 35y - 6 = 0$$ 16. Cherchons une équation équivalente dans les options données (coefficients divisibles par 7) : les coefficients 13 et 5 ou 12 et 7 apparaissent. - Option 2 : $13x + 5y - 2 = 0$ Pour vérifier si le point $\left(-\frac{8}{7}, \frac{22}{7}\right)$ appartient à cette droite : $$13 \times \left(-\frac{8}{7}\right) + 5 \times \left(\frac{22}{7}\right) - 2 = -\frac{104}{7} + \frac{110}{7} - 2 = \frac{6}{7} - 2 = -\frac{8}{7} \neq 0$$ Testons option 1 : $5x + 12y - 2 = 0$ $$5 \times \left(-\frac{8}{7}\right) + 12 \times \left(\frac{22}{7}\right) - 2 = -\frac{40}{7} + \frac{264}{7} - 2 = \frac{224}{7} - 2 = 32 - 2 = 30 \neq 0$$ Testons option 5 : $12x + 7y - 2 = 0$ $$12 \times \left(-\frac{8}{7}\right) + 7 \times \left(\frac{22}{7}\right) - 2 = -\frac{96}{7} + 22 - 2 = -\frac{96}{7} + 20 = -13\frac{5}{7} + 20 = 6\frac{2}{7} \neq 0$$ Testons option 3 : $12x + 5y + 2 = 0$ $$12 \times \left(-\frac{8}{7}\right) + 5 \times \left(\frac{22}{7}\right) + 2 = -\frac{96}{7} + \frac{110}{7} + 2 = \frac{14}{7} + 2 = 2 + 2 = 4 \neq 0$$ Testons option 4 : $12x + 7y + 17 = 0$ $$12 \times \left(-\frac{8}{7}\right) + 7 \times \left(\frac{22}{7}\right) + 17 = -\frac{96}{7} + 22 + 17 = -13\frac{5}{7} + 39 = 25\frac{2}{7} \neq 0$$ Aucune ne passe exactement par ce point mais la pente correspond à $-\frac{13}{5}$ ce qui donne l'équation $13x + 5y - 2 = 0$ (option 2) qui est la plus proche et a la bonne pente (pente -13/5). --- 17. Deuxième problème : Trouver la valeur de $k$ pour que les trois pistes cyclables se croisent. 18. Les équations sont : - Nord : $5x - 4y + 2 = 0$ - Est : $x + 4y - 14 = 0$ - Sud : $4x - 5y + k = 0$ 19. Trouvons le point d'intersection des pistes Nord et Est : De l'Est : $$x + 4y - 14 = 0 \Rightarrow x = 14 - 4y$$ Substituons dans Nord : $$5(14 - 4y) - 4y + 2 = 0$$ $$70 - 20y - 4y + 2 = 0$$ $$72 - 24y = 0$$ $$24y = 72$$ $$y = 3$$ 20. Calculons $x$ : $$x = 14 - 4 imes 3 = 14 - 12 = 2$$ 21. Le point d'intersection Nord-Est est $(2, 3)$. 22. Ce point doit également satisfaire l'équation Sud : $$4x - 5y + k = 0 \Rightarrow 4 imes 2 - 5 imes 3 + k = 0$$ $$8 - 15 + k = 0$$ $$k = 7$$ Réponse finale : $k = 7$ (option 4).