1. **Énoncé du problème :** Nous avons un triangle $ABC$ et un point $D$ tel que $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{BC}$. On définit $D_1$ comme le projeté de $D$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$, et $D_2$ comme le projeté de $D$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$. 2. **Formules et règles importantes :** - La projection parallèle d'un point sur une droite est obtenue en décomposant le vecteur en composantes parallèles et perpendiculaires. - Pour $D_1$, la projection de $D$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ signifie que $\overrightarrow{DD_1}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AC}$. - Pour $D_2$, la projection de $D$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ signifie que $\overrightarrow{DD_2}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$. 3. **Calcul de $\overrightarrow{AD_1}$ :** - On pose $\overrightarrow{AD_1} = \lambda \overrightarrow{AB}$ car $D_1$ est sur $(AB)$. - Puisque $\overrightarrow{DD_1}$ est parallèle à $\overrightarrow{AC}$, on a $\overrightarrow{DD_1} = \mu \overrightarrow{AC}$. - Or $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{BC}$. - Exprimons $\overrightarrow{AD_1}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : $$\overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_1} = (\overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) + \mu \overrightarrow{AC}$$ - En utilisant la relation des vecteurs dans le triangle, on trouve $\lambda = -2$. - Donc, $$\boxed{\overrightarrow{AD_1} = -2 \overrightarrow{AB}}$$ 4. **Calcul de $\overrightarrow{AD_2}$ :** - On pose $\overrightarrow{AD_2} = \alpha \overrightarrow{AC}$ car $D_2$ est sur $(AC)$. - Puisque $\overrightarrow{DD_2}$ est parallèle à $\overrightarrow{AB}$, on a $\overrightarrow{DD_2} = \beta \overrightarrow{AB}$. - En procédant de manière similaire, on trouve $\alpha = 4$. - Donc, $$\boxed{\overrightarrow{AD_2} = 4 \overrightarrow{AC}}$$ 5. **Conclusion :** Les vecteurs projetés sont: - $\overrightarrow{AD_1} = -2 \overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{AD_2} = 4 \overrightarrow{AC}$ Cela montre la relation entre les projections parallèles et les vecteurs du triangle.