1. Задача: Найти площади фигур, ограниченных кривыми в полярных координатах $R=\frac{5}{2}\sin\varphi$ и $r=\frac{3}{2}\sin\varphi$. 2. Формула для площади фигуры, ограниченной полярной кривой $\rho(\varphi)$ от $\alpha$ до $\beta$: $$S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \rho(\varphi)^2 d\varphi$$ 3. Поскольку обе кривые имеют вид $k\sin\varphi$, они определены на $\varphi \in [0, \pi]$ (где $\sin\varphi \geq 0$). 4. Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, равна разности площадей: $$S=\frac{1}{2}\int_0^{\pi} \left(R^2 - r^2\right) d\varphi = \frac{1}{2}\int_0^{\pi} \left(\left(\frac{5}{2}\sin\varphi\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\sin\varphi\right)^2\right) d\varphi$$ 5. Упростим подынтегральное выражение: $$\left(\frac{5}{2}\sin\varphi\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\sin\varphi\right)^2 = \frac{25}{4}\sin^2\varphi - \frac{9}{4}\sin^2\varphi = \frac{16}{4}\sin^2\varphi = 4\sin^2\varphi$$ 6. Тогда площадь: $$S=\frac{1}{2}\int_0^{\pi} 4\sin^2\varphi d\varphi = 2\int_0^{\pi} \sin^2\varphi d\varphi$$ 7. Используем формулу для интеграла: $$\int_0^{\pi} \sin^2\varphi d\varphi = \frac{\pi}{2}$$ 8. Следовательно: $$S=2 \times \frac{\pi}{2} = \pi$$ Ответ: площадь фигуры, ограниченной кривыми, равна $\pi$.