1. Énonçons le problème : On a un point $E(4, 10)$ situé sur la droite d'équation $y = -0,5x + 12$. Nous devons trouver le point $F$ sur la même droite, tel que la distance entre $E$ et $F$ soit $10$ unités. 2. Vérifions que le point $E$ est bien sur la droite : Calculons $y$ à $x=4$. $$y = -0,5 \times 4 + 12 = -2 + 12 = 10$$ Donc $E$ est bien sur la droite. 3. La pente de la droite est $m = -0,5$. La distance le long de la droite de $E$ à un autre point $F$ peut être trouvée en exprimant $F$ comme $(x, y)$ avec $$y = -0,5 x + 12$$ 4. Soit $F(x_F, y_F)$ sur la droite, la distance $d$ entre $E(4,10)$ et $F(x_F,y_F)$ est : $$d = \sqrt{(x_F - 4)^2 + (y_F - 10)^2} = 10$$ 5. Puisque $y_F = -0,5 x_F + 12$, remplaçons $y_F$ dans la distance : $$10 = \sqrt{(x_F - 4)^2 + (-0,5 x_F + 12 - 10)^2} = \sqrt{(x_F - 4)^2 + (-0,5 x_F + 2)^2}$$ 6. Élevons au carré pour se débarrasser de la racine : $$100 = (x_F - 4)^2 + (-0,5 x_F + 2)^2$$ Développons : $$(x_F - 4)^2 = x_F^2 - 8 x_F + 16$$ $$(-0,5 x_F + 2)^2 = 0,25 x_F^2 - 2 x_F + 4$$ 7. Additionnons : $$100 = x_F^2 - 8 x_F + 16 + 0,25 x_F^2 - 2 x_F + 4 = 1,25 x_F^2 -10 x_F + 20$$ 8. Réarrangeons : $$1,25 x_F^2 - 10 x_F + 20 = 100$$ $$1,25 x_F^2 - 10 x_F + 20 - 100 = 0$$ $$1,25 x_F^2 - 10 x_F - 80 =0$$ 9. Divisons toute l'équation par 1,25 : $$x_F^2 - 8 x_F - 64 = 0$$ 10. Résolvons cette équation quadratique pour $x_F$ : Le discriminant est $$\Delta = (-8)^2 - 4 \times 1 \times (-64) = 64 + 256 = 320$$ 11. Les solutions sont $$x_F = \frac{8 \pm \sqrt{320}}{2} = 4 \pm 4\sqrt{5}$$ 12. Calculons les coordonnées de $F$ pour chaque solution : - Pour $x_F = 4 + 4\sqrt{5}$, $$y_F = -0,5(4 + 4\sqrt{5}) + 12 = -2 - 2\sqrt{5} + 12 = 10 - 2\sqrt{5}$$ - Pour $x_F = 4 - 4\sqrt{5}$, $$y_F = -0,5(4 - 4\sqrt{5}) + 12 = -2 + 2\sqrt{5} + 12 = 10 + 2\sqrt{5}$$ 13. Conclusion : Les deux points $F$ possibles sont $$F_1 = \left(4 + 4\sqrt{5}, 10 - 2\sqrt{5}\right)$$ et $$F_2 = \left(4 - 4\sqrt{5}, 10 + 2\sqrt{5}\right)$$ Ils sont sur la droite à une distance de 10 unités de $E$.