1. **Énoncé du problème :** Nous avons un plan muni d'un repère orthonormé (oi, j, k). On considère les points $A(4 ; -2)$, $B(-3 ; 2)$, $C(3 ; 6)$ dans ce plan. 2. **Placement des points :** - Le point $A$ est à $(4, -2)$. - Le point $B$ est à $(-3, 2)$. - Le point $C$ est à $(3, 6)$. 3. **Montrer que $(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$ forme une base du plan :** - Calcul de $\overrightarrow{AB} = B - A = (-3 - 4; 2 - (-2)) = (-7; 4)$. - Calcul de $\overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 4; 6 - (-2)) = (-1; 8)$. - Vérifions que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. - Calcul du déterminant : $$ \det \begin{pmatrix} -7 & -1 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = (-7)(8) - (-1)(4) = -56 + 4 = -52 \neq 0 $$. - Puisque le déterminant est non nul, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont linéairement indépendants et forment une base du plan. 4. **Calcul de $AB$, $AC$ et $BC$ :** - Longueur de $AB$ : $$ AB = ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(-7)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65} $$. - Longueur de $AC$ : $$ AC = ||\overrightarrow{AC}|| = \sqrt{(-1)^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65} $$. - Calcul de $\overrightarrow{BC} = C - B = (3 - (-3); 6 - 2) = (6; 4)$. - Longueur de $BC$ : $$ BC = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} $$. 5. **Nature du triangle ABC :** - $AB = AC = \sqrt{65}$ et $BC = \sqrt{52}$, donc le triangle est isocèle en $A$. - Vérifions si triangle rectangle : $$ AB^2 + BC^2 = 65 + 52 = 117 \neq AC^2 = 65 $$ - Pas rectangle. 6. **Point $D(a; 2; 2a)$ avec $a \in \mathbb{R}$, $E$ projeté orthogonal de $A$ sur $[BC]$.** 7. **Déterminer $a$ pour que $ABDC$ soit un losange et calculer son aire :** - Pour un losange, $AB = BD = DC = CA$ (tous les côtés égaux). - Trouvons $BD$ avec $D(a; 2; 2a)$ en 3D. Comme $k$ représente la 3ème dimension qui n'intervient pas dans le plan, supposons $k=0$ pour $A$, $B$, $C$ pour cohérence. - Peut être que c'est un espace, alors considérer vecteurs avec coordonnées 3D : - $A = (4, -2, 0)$ - $B = (-3, 2, 0)$ - $C = (3, 6, 0)$ - Calcul de $BD = ||D - B|| = \sqrt{(a + 3)^2 + (2 - 2)^2 + (2a - 0)^2} = \sqrt{(a+3)^2 + 0 + (2a)^2} = \sqrt{(a+3)^2 + 4a^2} = \sqrt{a^2 +6a +9 + 4a^2} = \sqrt{5a^2 + 6a +9}$. - On impose $BD = AB$, $AB = \sqrt{65}$ $$ \sqrt{5a^2 + 6a + 9} = \sqrt{65} $$ $$ 5a^2 + 6a + 9 = 65 $$ $$ 5a^2 + 6a - 56 = 0 $$ - Résolvons l'équation du second degré : $$ a = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \times 5 \times (-56)}}{2 \times 5} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 1120}}{10} = \frac{-6 \pm \sqrt{1156}}{10} = \frac{-6 \pm 34}{10} $$ - Solutions : - $a_1 = \frac{-6+34}{10} = \frac{28}{10} = 2.8$ - $a_2 = \frac{-6-34}{10} = \frac{-40}{10} = -4$ - L'aire du losange est $AB \times$ hauteur. On calcule la hauteur ou utilise l'aire comme produit vectoriel. - Vecteur $\overrightarrow{AB} = (-7; 4; 0)$ - Trouvons $\overrightarrow{AD} = (a - 4; 2 + 2; 2a - 0) = (a-4; 4; 2a)$ - L'aire du losange est double de l'aire du triangle $ABD$ : $$ \text{Aire} = ||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}|| $$ - Calcul du produit vectoriel : $$ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -7 & 4 & 0 \\ a-4 & 4 & 2a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \times 2a - 0 \times 4) - \mathbf{j}(-7 \times 2a - 0 \times (a-4)) + \mathbf{k}(-7 \times 4 - 4 \times (a-4))$$ $$ = \mathbf{i}(8a) - \mathbf{j}(-14a) + \mathbf{k}(-28 - 4a + 16) = (8a, 14a, -12 -4a)$$ - Norme : $$ \sqrt{(8a)^2 + (14a)^2 + (-12 -4a)^2} = \sqrt{64a^2 + 196a^2 + (144 + 96a + 16a^2)} = \sqrt{260a^2 + 96a + 144} $$ - Pour $a=2.8$ : $$ 260(2.8)^2 + 96(2.8) + 144 = 260 \times 7.84 + 268.8 + 144 = 2038.4 + 268.8 + 144 = 2451.2 $$ $$ \Rightarrow \text{aire} = \sqrt{2451.2} \approx 49.51 $$ - Pour $a=-4$ : $$ 260(16) + 96(-4) + 144 = 4160 - 384 + 144 = 3920 $$ $$ \Rightarrow \text{aire} = \sqrt{3920} \approx 62.6 $$ 8. **Coordonnées de $E$, projection orthogonale de $A$ sur $[BC]$ :** - $\overrightarrow{BC} = C - B = (6; 4; 0)$. - Expression paramétrique : $B + t \overrightarrow{BC} = (-3+6t; 2+4t; 0)$. - $E$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $BC$ donc $$ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 $$ - Calcul de $\overrightarrow{AE} = E - A = (-3 + 6t - 4; 2 + 4t + 2; 0 - 0) = (6t -7; 4t + 4; 0)$. - Produit scalaire : $$ (6t -7) \times 6 + (4t +4) \times 4 + 0 = 0 $$ $$ 36t - 42 + 16t + 16 = 0 $$ $$ 52t - 26 = 0 $$ $$ t = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} $$ - Coordonnées de $E$ : $$ E = \left(-3 + 6 \times \frac{1}{2}; 2 + 4 \times \frac{1}{2}; 0\right) = (0; 4; 0) $$ - Coordonnées de $E$ dans bases $(i, j)$ sont donc $(0,4)$ (2D projection). - Dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$, exprimons $\overrightarrow{AE} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}$ : $$ (E_x - A_x, E_y - A_y) = (0-4, 4 + 2) = (-4, 6) $$ Système : $$ -4 = -7\alpha - \beta $$ $$ 6 = 4 \alpha + 8 \beta $$ Multipliant première équation par 8, deuxième par 1, on résout et trouve $\alpha=0$, $\beta= -1$. Donc $$ \overrightarrow{AE} = 0 \times \overrightarrow{AB} - 1 \times \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AC} $$. 9. **Cercle $(\phi)$ de diamètre $[AC]$, avec centre $M$ :** - Centre $M$ est milieu de $A$ et $C$: $$ M = \left(\frac{4 + 3}{2}, \frac{-2 + 6}{2}\right) = \left( \frac{7}{2}, 2 \right) = (3.5, 2) $$ 10. **Montrer que $E \in (\phi)$ par trois méthodes différentes :** - **1ère méthode (distance) :** $$ MA = MC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{65}}{2} $$ Calculons $ME$ : $$ ME = \sqrt{(0 - 3.5)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{12.25 + 4} = \sqrt{16.25} $$ $$ \left(\frac{\sqrt{65}}{2} \right)^2 = \frac{65}{4} = 16.25 $$ Donc $ME = MA = MC$, donc $E$ appartient au cercle. - **2ème méthode (angle inscrit) :** L'angle $AEC$ inscrit dans le cercle est droit car $AC$ est diamètre, donc $E$ est sur le cercle. - **3ème méthode (utilisation du produit scalaire) :** $$ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{CE} = 0 $$ indique que $E$ est sur le cercle de diamètre $AC$. 11. **Déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées de $N$ intersection de $(\phi)$ et $(OI)$ :** - Droite $(OI)$ correspond à l'axe des $x$ (ou $i$). Donc $y=0$. - Équation du cercle : centre $M(3.5, 2)$, rayon $r = \frac{\sqrt{65}}{2}$. - Équation : $$ (x - 3.5)^2 + (y - 2)^2 = \left( \frac{\sqrt{65}}{2} \right)^2 = 16.25 $$ - Pour $y=0$ : $$ (x - 3.5)^2 + (0 - 2)^2 = 16.25 $$ $$ (x - 3.5)^2 + 4 = 16.25 $$ $$ (x - 3.5)^2 = 12.25 $$ $$ x - 3.5 = \pm 3.5 $$ - Solutions : - $x = 3.5 + 3.5 = 7$ - $x = 3.5 - 3.5 = 0$ Donc $N_1 = (7, 0)$ et $N_2 = (0, 0)$. 12. **Montrer que $M, E$ et $N$ sont alignés :** - Prenons $N = (0, 0)$ car c'est sur l'axe. - Vecteurs : $$ \overrightarrow{ME} = (0 - 3.5, 4 - 2) = (-3.5, 2) $$ $$ \overrightarrow{MN} = (0 - 3.5, 0 - 2) = (-3.5, -2) $$ - Voir s'ils sont colinéaires : $$ \frac{-3.5}{-3.5} = 1, \quad \frac{2}{-2} = -1 $$ Non proportionnels. - Avec $N = (7,0)$ : $$ \overrightarrow{MN} = (7 - 3.5, 0 - 2) = (3.5, -2) $$ Toujours pas colinéaire. Par conséquent, $M$, $E$, $N$ ne sont pas alignés ici, il faut vérifier la troisième méthode plus précisément ou considérer $N = (0,0)$. Vérification vectorielle avec paramètre : - La droite $(ME)$ s'exprime paramétriquement : $$ M + t \overrightarrow{ME} = (3.5 - 3.5 t, 2 + 2 t) $$ Pour ce point être $N$ sur la droite $y=0$ : $$ 2 + 2 t = 0 \Rightarrow t = -1 $$ $$ x = 3.5 - 3.5 (-1) = 3.5 + 3.5 = 7 $$ Donc $N = (7,0)$ est sur la droite $ME$. Ainsi, les points $M$, $E$ et $N$ sont alignés. 13. **Nature du quadrilatère $AECN$ :** - Puisque $E$ est sur le cercle de diamètre $AC$ et $N$ est l'intersection du cercle avec $(OI)$, et $M, E, N$ alignés (axe), le quadrilatère $AECN$ est un trapèze inscrit dans ce cercle. - De plus, $AECN$ est un quadrilatère inscrit dans un cercle, donc il est cyclique. **Réponses finales :** - $(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$ forme une base du plan. - Triangle $ABC$ est isocèle en $A$. - Valeurs de $a$ pour losange $ABDC$ sont $a = 2.8$ ou $a = -4$ avec aires respectives environ 49.51 et 62.6. - Coordonnées de $E$ dans bases $(i,j)$ : $(0,4)$ et dans $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$: $(0,-1)$. - $E$ appartient au cercle $(\phi)$ de diamètre $AC$. - $N = (7,0)$ est intersection du cercle avec $(OI)$. - Points $M$, $E$, $N$ sont alignés. - Quadrilatère $AECN$ est cyclique.