1. **Énoncé du problème** : Vérifier que le plan \( (P) : x + y + 2z - 2 = 0 \) est déterminé par les trois points \( A(1 ; 1 ; 0), B(2 ; 0 ; 0), C(1 ; 3 ; -1) \). 2. **Calculer les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \)** : \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2-1, 0-1, 0-0) = (1, -1, 0) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1-1, 3-1, -1-0) = (0, 2, -1) \] 3. **Trouver un vecteur normal \( \vec{n} \) au plan passant par \( A, B, C \)** : Ce vecteur est le produit vectoriel \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \) : \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} = ( (-1) \times (-1) - 0 \times 2, \, 0 \times 0 - 1 \times (-1), \, 1 \times 2 - (-1) \times 0 ) = (1, 1, 2) \] 4. **Comparer ce vecteur normal au vecteur normal du plan \( (P) \)** : L'équation du plan est \( x + y + 2z - 2 = 0 \), son vecteur normal est \( (1, 1, 2) \) exactement comme calculé. 5. **Vérification que le point \( A \) est sur le plan \( (P) \)** : Calculons : \( 1 + 1 + 2 \times 0 - 2 = 0 \). Cela signifie que \( A \) appartient bien au plan. 6. **Conclusion** : Les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) définissent un plan dont le vecteur normal est \( (1,1,2) \), qui est également le vecteur normal de \( (P) \). De plus, le point \( A \) est sur \( (P) \). Donc, \( (P) \) est bien le plan déterminé par \( A, B, C \).