1. **Проблем:** Имаме кружница со радиус 1 во рамнината $z=1$ со центар во точката $c=(1,1,1)$. Дијаметарот е паралелен со $y$-оската и има крајни точки $A=(1,0,1)$ и $B=(1,2,1)$. Треба да најдеме хомогени координати на овие точки и нивните координати во однос на перспективната проекција со центар во $O=(0,0,2)$. Дополнително, да одговориме дали сликата ќе биде кружница или елипса. 2. **Хомогени координати:** За точка $P=(x,y,z)$ во 3D, хомогените координати се $P_h=(x,y,z,1)$. - За $A=(1,0,1)$, хомогените координати се $$A_h = (1,0,1,1)$$ - За $B=(1,2,1)$, хомогените координати се $$B_h = (1,2,1,1)$$ 3. **Перспективна проекција:** Центарот на проекцијата е $O=(0,0,2)$. Проекцијата на точка $P=(x,y,z)$ на рамнината $z=0$ се добива со пресек на правата $OP$ со $z=0$. Параметризираме правата $OP$ како $$R(t) = O + t(P - O) = (0,0,2) + t(x, y, z-2) = (tx, ty, 2 + t(z-2))$$ За $z=0$, решаваме $$2 + t(z-2) = 0 \\ t = \frac{-2}{z-2}$$ 4. **Проекција на точките:** - За $A=(1,0,1)$, $z=1$, па $$t_A = \frac{-2}{1-2} = \frac{-2}{-1} = 2$$ Проекцијата е $$A' = (2 \cdot 1, 2 \cdot 0, 0) = (2,0,0)$$ - За $B=(1,2,1)$, $z=1$, па $$t_B = 2$$ Проекцијата е $$B' = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2, 0) = (2,4,0)$$ 5. **Објаснување за сликата:** Кружницата лежи во рамнината $z=1$. Перспективната проекција со центар над кружницата (во $z=2$) ќе ја трансформира кружницата во елипса, бидејќи проекцијата на кружница не е општо кружница, освен ако проекцијата не е ортогонална и центарот не е на бесконечност. Тука, бидејќи центарот е во точка над рамнината, сликата ќе биде елипса. **Одговор:** - Хомогени координати: $$A_h=(1,0,1,1), B_h=(1,2,1,1)$$ - Перспективна проекција: $$A'=(2,0,0), B'=(2,4,0)$$ - Сликата на кружницата е елипса.