1. مسئله: در یک مثلث، ارتفاع‌ها به ترتیب 4، 3 و 2 واحد هستند. باید محیط دایره محاطی داخلی مثلث را پیدا کنیم. 2. فرمول‌ها و نکات مهم: - ارتفاع‌ها به اضلاع مثلث مرتبط هستند با فرمول $h = \frac{2A}{a}$ که در آن $A$ مساحت مثلث و $a$ ضلع مقابل ارتفاع است. - محیط دایره محاطی داخلی مثلث برابر است با $2\pi r$ که $r$ شعاع دایره محاطی است. - شعاع دایره محاطی داخلی مثلث با فرمول $r = \frac{2A}{P}$ محاسبه می‌شود که $P$ محیط مثلث است. 3. محاسبه اضلاع مثلث: فرض کنیم اضلاع مثلث $a$, $b$, $c$ باشند و ارتفاع‌های مقابل آنها به ترتیب $h_a=4$, $h_b=3$, $h_c=2$. از فرمول ارتفاع: $$h_a = \frac{2A}{a} \Rightarrow a = \frac{2A}{h_a} = \frac{2A}{4} = \frac{A}{2}$$ $$h_b = \frac{2A}{b} \Rightarrow b = \frac{2A}{3}$$ $$h_c = \frac{2A}{c} \Rightarrow c = \frac{2A}{2} = A$$ 4. حال محیط مثلث: $$P = a + b + c = \frac{A}{2} + \frac{2A}{3} + A = \frac{3A}{6} + \frac{4A}{6} + \frac{6A}{6} = \frac{13A}{6}$$ 5. مساحت مثلث را با استفاده از فرمول هر ارتفاع محاسبه می‌کنیم: از $h_c = 2$ و ضلع $c = A$ داریم: $$h_c = \frac{2A}{c} = \frac{2A}{A} = 2$$ که درست است، پس مقدار $A$ را می‌توانیم فرض کنیم عددی ثابت است. 6. شعاع دایره محاطی داخلی: $$r = \frac{2A}{P} = \frac{2A}{\frac{13A}{6}} = \frac{2A \times 6}{13A} = \frac{12}{13}$$ 7. محیط دایره محاطی داخلی: $$2\pi r = 2\pi \times \frac{12}{13} = \frac{24\pi}{13}$$ پاسخ نهایی گزینه 3) $\frac{24\pi}{13}$ است.