1. **Énoncé du problème :** Nous avons plusieurs questions liées à des figures géométriques avec des segments et des parallélismes à démontrer, ainsi que des calculs de distances et hauteurs. --- ### Exercice 4 (Partie gauche) 1) Calculer la hauteur $CH$ de l'arbre. 2) Trouver la distance $AD$ du point $A$ au pied de l'arbre. 3) Montrer que les droites $(BH)$ et $(CE)$ sont parallèles. **Données :** - $AB=5$ - $AE=9$ - $AF=12$ - $E$ est un point sur le segment $[AC]$ tel que $AE=x$ **Étapes :** 1. Pour calculer la hauteur $CH$, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par l'arbre et le sol. 2. Pour trouver $AD$, on utilise la relation entre les segments dans le triangle et les propriétés des triangles semblables. 3. Pour montrer que $(BH) \parallel (CE)$, on utilise le théorème de Thalès ou la propriété des droites parallèles dans un triangle. --- ### Exercice 5 (Partie droite) 1) Calculer $MA$. 2) Montrer que $(DC) \parallel (MN)$. 3) Montrer que $(EC) \parallel (AF)$. **Données :** - $ABCD$ est un parallélogramme - $AB=8$, $AD=4.5$ - $E \in [DA]$, $F \in [DA]$ avec $AF=3.5$ - La droite $(FC)$ coupe $(AH)$ en $M$ - $F \in [DG]$ tel que $DF=\frac{3}{4} DC$ **Étapes :** 1. Pour calculer $MA$, on utilise les propriétés du parallélogramme et les relations de segments sur les droites. 2. Pour montrer que $(DC) \parallel (MN)$, on applique la définition des parallèles dans un parallélogramme et les propriétés des droites coupées. 3. Pour montrer que $(EC) \parallel (AF)$, on utilise la relation $DF=\frac{3}{4} DC$ et les propriétés des segments proportionnels. --- **Remarque :** Les démonstrations utilisent principalement le théorème de Thalès, les propriétés des parallélogrammes, et les relations de proportionnalité entre segments.