1. Énoncé : Dans le parallélogramme ABCD, les points E et H sont définis par : $AE=\frac{3}{2}AB$ et $CH=\frac{1}{2}CA+\frac{3}{2}CB+2AE=0$. 2. Montrer que $AH=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{3}AE$. - Sachant que $H$ est défini par $CH=0$, on a $\frac{1}{2}CA + \frac{3}{2}CB + 2AE=0$. - Or, dans un parallélogramme, on utilise les vecteurs relations et simplifie pour exprimer $AH$ en fonction de $AB$ et $AE$. - En utilisant les relations vectorielles du parallélogramme, on aboutit à $AH=\frac{1}{2}AB + \frac{1}{3}AE$. 3. En déduire que C est le milieu de [AG]. - On pose $G$ tel que $AG= 2AC$ utilisant la relation vectorielle et $AH$ trouvé. - Montrer que $C$ est milieu revient à prouver $AC = CG$. - Avec $AH$ et $AE$ exprimés, on conclut que $C$ est le milieu de $[AG]$. --- 4. $I$ est le milieu de $[AB]$. 5. La droite $(ED)$ coupe $(BC)$ et $(FC)$ respectivement, avec $F$ sur la droite concernée. 6. Montrer que $BF=\frac{1}{3}AD$. - Utiliser la géométrie vectorielle et le théorème de Thalès dans les triangles correspondant. - Calculer les positions relatives et en déduire la relation du segment $BF$ en fonction de $AD$. 7. La nature du quadrilatère $IECD$. - Montrer que $IECD$ est un parallélogramme ou trapèze en prouvant que les côtés opposés sont parallèles ou égaux. - Justifier avec propriétés vectorielles ou des parallèles dans le parallélogramme initial. --- Exercice 4 : 1. Dans le triangle ABC, D est un point sur la droite (BC), $D \notin (BC)$ semble une erreur (on suppose $D \in BC$). 2. $E$ est défini par $AO=\frac{3}{4}AB$. 3. Le projeté de $D$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$, noté $E$. 4. $T$ est le projeté de $D$ sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$. 5. Montrer que $AC=\frac{3}{4}AE$ et $AB=\frac{3}{4}AF$. - Utiliser les propriétés des projections parallèles et les rapports de longueurs. 6. Montrer que $(BC) \parallel (EF)$. - Grâce aux rapports de longueurs et aux parallèles définies, utiliser la géométrie affine pour conclure la parallélisme. --- Ceci résume les étapes clés pour chaque question avec explications pédagogiques et détails intermédiaires à développer selon besoin.