1. Planteamos el problema: Tenemos los puntos $A(2,3)$ y $B(12,7)$ y un punto $P(x,y)$ tal que $PB = 2AP$. 2. Usamos la fórmula de distancia entre dos puntos: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ 3. Definimos las distancias: - $AP = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}$ - $PB = \sqrt{(12 - x)^2 + (7 - y)^2}$ 4. Según el problema, $PB = 2AP$, entonces: $$\sqrt{(12 - x)^2 + (7 - y)^2} = 2 \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}$$ 5. Elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar raíces: $$(12 - x)^2 + (7 - y)^2 = 4 \left[(x - 2)^2 + (y - 3)^2\right]$$ 6. Expandimos y simplificamos: $$(12 - x)^2 + (7 - y)^2 = 4(x - 2)^2 + 4(y - 3)^2$$ 7. Expandimos cada término: $$(12 - x)^2 = (x - 12)^2 = x^2 - 24x + 144$$ $$(7 - y)^2 = (y - 7)^2 = y^2 - 14y + 49$$ $$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$$ $$(y - 3)^2 = y^2 - 6y + 9$$ 8. Sustituimos en la ecuación: $$x^2 - 24x + 144 + y^2 - 14y + 49 = 4(x^2 - 4x + 4) + 4(y^2 - 6y + 9)$$ 9. Simplificamos el lado derecho: $$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 - 24y + 36$$ 10. La ecuación queda: $$x^2 - 24x + 144 + y^2 - 14y + 49 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 - 24y + 36$$ 11. Pasamos todos los términos al lado izquierdo: $$x^2 - 24x + 144 + y^2 - 14y + 49 - 4x^2 + 16x - 16 - 4y^2 + 24y - 36 = 0$$ 12. Agrupamos términos semejantes: $$(x^2 - 4x^2) + (-24x + 16x) + (y^2 - 4y^2) + (-14y + 24y) + (144 + 49 - 16 - 36) = 0$$ 13. Simplificamos: $$-3x^2 - 8x - 3y^2 + 10y + 141 = 0$$ 14. Multiplicamos por $-1$ para facilitar: $$3x^2 + 8x + 3y^2 - 10y - 141 = 0$$ 15. Sabemos que $P$ está en el segmento $AB$, por lo que $P$ es un punto entre $A$ y $B$. Podemos parametrizar $P$ como: $$P = A + t(B - A) = (2 + 10t, 3 + 4t)$$ 16. Sustituimos $x = 2 + 10t$ y $y = 3 + 4t$ en la ecuación: $$3(2 + 10t)^2 + 8(2 + 10t) + 3(3 + 4t)^2 - 10(3 + 4t) - 141 = 0$$ 17. Expandimos: $$3(4 + 40t + 100t^2) + 16 + 80t + 3(9 + 24t + 16t^2) - 30 - 40t - 141 = 0$$ 18. Simplificamos: $$3 \times 4 + 3 \times 40t + 3 \times 100t^2 + 16 + 80t + 3 \times 9 + 3 \times 24t + 3 \times 16t^2 - 30 - 40t - 141 = 0$$ $$12 + 120t + 300t^2 + 16 + 80t + 27 + 72t + 48t^2 - 30 - 40t - 141 = 0$$ 19. Sumamos términos semejantes: $$300t^2 + 48t^2 + 120t + 80t + 72t - 40t + 12 + 16 + 27 - 30 - 141 = 0$$ $$348t^2 + 232t - 116 = 0$$ 20. Simplificamos dividiendo toda la ecuación por 4: $$87t^2 + 58t - 29 = 0$$ 21. Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula: $$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Donde $a=87$, $b=58$, $c=-29$. 22. Calculamos el discriminante: $$\Delta = 58^2 - 4 \times 87 \times (-29) = 3364 + 10092 = 13456$$ 23. Calculamos $t$: $$t = \frac{-58 \pm \sqrt{13456}}{174}$$ 24. Aproximamos $\sqrt{13456} \approx 116.01$: - Primera solución: $$t_1 = \frac{-58 + 116.01}{174} = \frac{58.01}{174} \approx 0.3333$$ - Segunda solución: $$t_2 = \frac{-58 - 116.01}{174} = \frac{-174.01}{174} \approx -1.0001$$ 25. Como $P$ está entre $A$ y $B$, $t$ debe estar entre 0 y 1, entonces tomamos $t = 0.3333$. 26. Calculamos las coordenadas de $P$: $$x = 2 + 10 \times 0.3333 = 2 + 3.333 = 5.333$$ $$y = 3 + 4 \times 0.3333 = 3 + 1.333 = 4.333$$ 27. Por lo tanto, las coordenadas de $P$ son aproximadamente $\boxed{(5.33, 4.33)}$.