1. Stwierdzenie problemu: Obliczamy obwód trójkąta równoramiennego, gdy znany jest promień okręgu opisanego $R=13$ cm oraz wysokość $h$ opuszczona na podstawę. 2. Wzory i zasady: - Promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie $a$ i ramionach $b$ można wyrazić wzorem $$R=\frac{abc}{4P}$$ gdzie $P$ to pole trójkąta. - Pole trójkąta równoramiennego można obliczyć jako $$P=\frac{1}{2} a h$$ gdzie $h$ to wysokość na podstawę. - Wysokość $h$ dzieli podstawę na dwie równe części, więc połowa podstawy to $$\frac{a}{2}$$. - Ramie $b$ można wyrazić z twierdzenia Pitagorasa: $$b=\sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$. 3. Obliczenia dla a) $h=20$ cm: - Obwód to $$O = a + 2b$$. - Z twierdzenia o promieniu okręgu opisanego i wzoru na pole: $$P = \frac{1}{2} a h$$ $$R = \frac{abc}{4P}$$, ale $c=a$ (podstawa), więc $$R = \frac{a b a}{4 \cdot \frac{1}{2} a h} = \frac{a b}{2 h}$$ - Stąd $$a b = 2 R h$$ - Ramie $b = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$ - Podstawiamy $b$ do równania: $$a \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = 2 R h$$ - Podstawiamy dane: $R=13$, $h=20$: $$a \sqrt{400 + \frac{a^2}{4}} = 2 \cdot 13 \cdot 20 = 520$$ - Podnieśmy obie strony do kwadratu: $$a^2 \left(400 + \frac{a^2}{4}\right) = 520^2 = 270400$$ - Rozpisujemy: $$400 a^2 + \frac{a^4}{4} = 270400$$ - Mnożymy przez 4: $$1600 a^2 + a^4 = 1081600$$ - Przekształcamy do postaci: $$a^4 + 1600 a^2 - 1081600 = 0$$ - Podstawiamy $x = a^2$: $$x^2 + 1600 x - 1081600 = 0$$ - Rozwiązujemy równanie kwadratowe: $$x = \frac{-1600 \pm \sqrt{1600^2 + 4 \cdot 1081600}}{2}$$ $$= \frac{-1600 \pm \sqrt{2560000 + 4326400}}{2} = \frac{-1600 \pm \sqrt{6886400}}{2}$$ $$= \frac{-1600 \pm 2624.11}{2}$$ - Bierzemy dodatnią wartość: $$x = \frac{-1600 + 2624.11}{2} = \frac{1024.11}{2} = 512.06$$ - Zatem $$a = \sqrt{512.06} \approx 22.63$$ cm - Obliczamy $b$: $$b = \sqrt{20^2 + \left(\frac{22.63}{2}\right)^2} = \sqrt{400 + 127.9} = \sqrt{527.9} \approx 22.97$$ cm - Obwód: $$O = a + 2b = 22.63 + 2 \times 22.97 = 22.63 + 45.94 = 68.57$$ cm 4. Obliczenia dla b) $h=6$ cm: - Podobnie jak wyżej: $$a \sqrt{6^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = 2 \cdot 13 \cdot 6 = 156$$ - Podnosimy do kwadratu: $$a^2 \left(36 + \frac{a^2}{4}\right) = 156^2 = 24336$$ - Rozpisujemy: $$36 a^2 + \frac{a^4}{4} = 24336$$ - Mnożymy przez 4: $$144 a^2 + a^4 = 97344$$ - Podstawiamy $x = a^2$: $$x^2 + 144 x - 97344 = 0$$ - Rozwiązujemy: $$x = \frac{-144 \pm \sqrt{144^2 + 4 \cdot 97344}}{2} = \frac{-144 \pm \sqrt{20736 + 389376}}{2} = \frac{-144 \pm \sqrt{410112}}{2}$$ $$= \frac{-144 \pm 640.58}{2}$$ - Bierzemy dodatnią wartość: $$x = \frac{-144 + 640.58}{2} = \frac{496.58}{2} = 248.29$$ - Zatem $$a = \sqrt{248.29} \approx 15.76$$ cm - Obliczamy $b$: $$b = \sqrt{6^2 + \left(\frac{15.76}{2}\right)^2} = \sqrt{36 + 62.1} = \sqrt{98.1} \approx 9.9$$ cm - Obwód: $$O = a + 2b = 15.76 + 2 \times 9.9 = 15.76 + 19.8 = 35.56$$ cm Odpowiedzi: - a) Obwód trójkąta wynosi około 68.57 cm - b) Obwód trójkąta wynosi około 35.56 cm