1. Problem: Oblicz obwód trójkąta równoramiennego, jeśli opisany na nim okrąg ma promień $R=13$ cm, a wysokość poprowadzona do podstawy wynosi: a) $h=20$ cm b) $h=6$ cm 2. Wzory i zasady: - Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie: $$R=\frac{abc}{4P}$$ gdzie $a,b,c$ to boki trójkąta, a $P$ to pole trójkąta. - Pole trójkąta równoramiennego z podstawą $a$ i wysokością $h$: $$P=\frac{1}{2}ah$$ - Obwód trójkąta: $$O = 2b + a$$ gdzie $b$ to długość ramienia, $a$ to podstawa. - Wysokość $h$ w trójkącie równoramiennym: $$h=\sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$ 3. Rozwiązanie a) dla $h=20$ cm: 1. Z wzoru na wysokość: $$20 = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$ 2. Podstawiamy $a$ jako podstawę, $b$ jako ramię. 3. Podstawiamy wzór na pole: $$P=\frac{1}{2} a \cdot 20 = 10a$$ 4. Z wzoru na promień okręgu opisanego: $$13 = \frac{a \cdot b \cdot b}{4P} = \frac{a b^2}{4 \cdot 10 a} = \frac{b^2}{40}$$ 5. Stąd: $$b^2 = 13 \times 40 = 520$$ 6. Z równania wysokości: $$20^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 \Rightarrow 400 = 520 - \frac{a^2}{4}$$ 7. Przekształcamy: $$\frac{a^2}{4} = 520 - 400 = 120 \Rightarrow a^2 = 480$$ 8. Obliczamy $a$: $$a = \sqrt{480} = 4\sqrt{30}$$ 9. Obwód: $$O = 2b + a = 2 \times \sqrt{520} + 4\sqrt{30} = 2 \times 2\sqrt{130} + 4\sqrt{30} = 4\sqrt{130} + 4\sqrt{30}$$ 4. Rozwiązanie b) dla $h=6$ cm: 1. Wysokość: $$6 = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$ 2. Pole: $$P=\frac{1}{2} a \cdot 6 = 3a$$ 3. Promień: $$13 = \frac{a b^2}{4 \cdot 3a} = \frac{b^2}{12}$$ 4. Stąd: $$b^2 = 13 \times 12 = 156$$ 5. Z wysokości: $$6^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 \Rightarrow 36 = 156 - \frac{a^2}{4}$$ 6. Przekształcamy: $$\frac{a^2}{4} = 156 - 36 = 120 \Rightarrow a^2 = 480$$ 7. Obliczamy $a$: $$a = \sqrt{480} = 4\sqrt{30}$$ 8. Obwód: $$O = 2b + a = 2 \times \sqrt{156} + 4\sqrt{30} = 2 \times 2\sqrt{39} + 4\sqrt{30} = 4\sqrt{39} + 4\sqrt{30}$$ 5. Odpowiedzi: a) Obwód wynosi $$4\sqrt{130} + 4\sqrt{30}$$ cm b) Obwód wynosi $$4\sqrt{39} + 4\sqrt{30}$$ cm