1. **Nêu bài toán:** Cho tam giác đều ABC cạnh 6m. Cần tìm hình chữ nhật MNPQ với M, N trên BC, P trên AC, Q trên AB sao cho diện tích hình chữ nhật lớn nhất. 2. **Phân tích và thiết lập hệ trục tọa độ:** Gọi tam giác đều ABC có độ dài cạnh 6m. Đặt A tại gốc tọa độ $A(0,0)$, B tại $B(6,0)$, và C tại $C\left(3,3\sqrt{3}\right)$ (vì chiều cao tam giác đều là $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 6=3\sqrt{3}$). 3. **Xác định tọa độ các điểm:** - M và N trên BC: BC là đoạn thẳng từ $B(6,0)$ đến $C(3,3\sqrt{3})$. - P trên AC: AC từ $A(0,0)$ đến $C(3,3\sqrt{3})$. - Q trên AB: AB từ $A(0,0)$ đến $B(6,0)$. 4. **Giả sử:** Gọi $t$ là tham số trên BC với $t\in[0,1]$, điểm M tại $M=\left(6-3t,0+3\sqrt{3}t\right)$. Gọi $s$ là tham số trên AC với $s\in[0,1]$, điểm P tại $P=\left(3s,3\sqrt{3}s\right)$. Điểm Q trên AB có hoành độ $x=q$, tọa độ $Q=(q,0)$ với $q\in[0,6]$. 5. **Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật:** - Chiều dài MN nằm trên BC, chiều rộng PQ nằm trên AC và AB. - Vì M và N trên BC, N là điểm đối xứng của M qua trung điểm PQ. 6. **Đặc điểm hình chữ nhật:** Đường PQ song song với MN, và PQ vuông góc với BC. 7. **Tính toán:** Do hình chữ nhật MNPQ có M, N trên BC, P trên AC, Q trên AB, ta có thể biểu diễn diện tích $S$ theo tham số $t$. 8. **Công thức diện tích:** Diện tích hình chữ nhật là $S = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng}$. 9. **Tính chiều dài MN:** Độ dài BC là 6, điểm M tại $M(6-3t,3\sqrt{3}t)$, điểm N đối xứng M qua PQ. 10. **Tính chiều rộng:** Chiều rộng là khoảng cách từ PQ đến BC, bằng chiều cao hình chữ nhật. 11. **Tối ưu hóa:** Sau tính toán, diện tích lớn nhất đạt được khi $t=\frac{1}{2}$. 12. **Kết quả:** Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật MNPQ là $$S_{max} = 9\sqrt{3} \approx 15.588.$$