1. დავიწყოთ 4.1-ით: წრფოს განზომლა ორ წერტილს შორის არის მანძილი, რომელსაც ვთვლით ფორმულით: $$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ აქ $x_1,y_1$ და $x_2,y_2$ არის წერტილების კოორდინატები. 2. 4.1 ა) წერტილები (1,3) და (2,7): $$d=\sqrt{(2-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$$ 4.1 ბ) წერტილები (-1,3) და (2,3): $$d=\sqrt{(2+1)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{3^2 + 0} = 3$$ 3. 4.2 წერტილები: ა) P₁(-2,4), P₂(-4,6): $$d=\sqrt{(-4+2)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ ბ) P₁(-1,4), P₂(-3,2): $$d=\sqrt{(-3+1)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$$ გ) P₁(-2,4), P₂(3,-5): $$d=\sqrt{(3+2)^2 + (-5-4)^2} = \sqrt{5^2 + (-9)^2} = \sqrt{25+81} = \sqrt{106}$$ 4. 4.3 წრფის განზომლა წერტილიდან და კოეფიციენტიდან $k$ არის მანძილი წერტილიდან წრფამდე, თუ $k$ არის დახრილობა. თუ $k$ არ არის განსაზღვრული, წრფა ვერტიკალურია. ა) P(2,1), $k=-3$: წრფის განზომლა არ არის მანძილი, არამედ დახრილობა, აქ $k=-3$ ნიშნავს დახრილობას. ბ) P(4,-2), $k=-1$: დახრილობა $-1$. გ) P(2,1), $k$ არ განსაზღვრული: წრფა ვერტიკალურია, დახრილობა არ არსებობს. 5. 4.4 დავამოწმოთ წერტილები B(0,3) და C(1,2) წრფეზე $k=3$ და P(2,1): წრფის განზომლა $k=3$ ნიშნავს, რომ წრფის განზომლა არის დახრილობა $3$. წრფის განზომლა ფორმულით: $$y - y_1 = k(x - x_1)$$ გამოვიყენოთ P(2,1): $$y - 1 = 3(x - 2) \Rightarrow y = 3x - 6 + 1 = 3x - 5$$ შემოწმება B(0,3): $$3 = 3\cdot0 - 5 = -5$$ არ ემთხვევა, ამიტომ B წერტილი არ არის წრფეზე. შემოწმება C(1,2): $$2 = 3\cdot1 - 5 = -2$$ არ ემთხვევა, ამიტომ C წერტილიც არ არის წრფეზე. 6. 4.5 და 4.6 და 4.7 ამოცანები მოითხოვს $m$-ის მნიშვნელობების პოვნას, სადაც წრფის განზომლა არის გარკვეული ტიპის ან უუნარო ან დადებითი. 4.5 წრფის წერტილები $(m,5)$ და $(3,2m)$: განზომლა: $$d=\sqrt{(3 - m)^2 + (2m - 5)^2}$$ მოცემულია, რომ განზომლა არის 2-ლი ტიპი (შესაძლოა, დადებითი ან უარყოფითი დახრილობა, თუ ეს არის დახრილობა, უნდა დავაზუსტოთ). 4.6 წერტილები $(m+1,2)$ და $(-1,m)$: განზომლა: $$d=\sqrt{(-1 - (m+1))^2 + (m - 2)^2} = \sqrt{(-m - 2)^2 + (m - 2)^2}$$ უნარიანობის (უუნარობის) განსაზღვრა დამოკიდებულია ამ გამოხატულებაზე. 4.7 წერტილები $(-2,m-1)$ და $(m+2,1)$: განზომლა: $$d=\sqrt{(m+2 + 2)^2 + (1 - (m-1))^2} = \sqrt{(m+4)^2 + (2 - m)^2}$$ მოცემულია, რომ განზომლა არის დადებითი, რაც ყოველთვის მართალია მანძილისთვის. 7. 4.8 და 4.9 გადაკვეთის წრფების განზომლა: 4.8 წრფები: $$y=2x-3$$ $$y=-3x+5$$ გადაკვეთის წერტილი პოულდება, როცა $$2x - 3 = -3x + 5 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x=\frac{8}{5}$$ შემდეგ $$y=2\cdot\frac{8}{5} - 3 = \frac{16}{5} - 3 = \frac{16}{5} - \frac{15}{5} = \frac{1}{5}$$ გადაკვეთის წერტილი არის $$\left(\frac{8}{5}, \frac{1}{5}\right)$$ 4.9 წრფები: $$y=5x+2$$ $$y=-x+1$$ გადაკვეთის წერტილი: $$5x + 2 = -x + 1 \Rightarrow 6x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{6}$$ შემდეგ $$y = 5\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) + 2 = -\frac{5}{6} + 2 = \frac{7}{6}$$ გადაკვეთის წერტილი არის $$\left(-\frac{1}{6}, \frac{7}{6}\right)$$ 8. 4.10 და 4.11 ამოცანები მოითხოვს $p$ და $q$-ს მნიშვნელობების პოვნას, რომლებიც განსაზღვრავენ წრფის განზომლას და გადაკვეთის კოეფიციენტებს. 4.10 წერტილები $(p,2)$ და $(-3,p)$: განზომლა: $$d=\sqrt{(-3 - p)^2 + (p - 2)^2}$$ მოცემულია, რომ განზომლა არის 5. 4.11 წერტილები $(2q,-q)$ და $(1,3)$: განზომლა: $$d=\sqrt{(1 - 2q)^2 + (3 + q)^2}$$ გადაკვეთის კოეფიციენტი არის $q$. 9. 4.12 წრფის განზომლა ფორმით $$y = kx + b$$ განზომლა არის დახრილობა $k$ და $b$ არის y-უკავეთა. ა) $k=3$, $b=3$ ბ) $k=1$, $b=0$ გ) $k=-\frac{1}{2}$, $b=3$ 10. 4.13 წრფის განზომლა ფორმით $$ax + by = c$$ დააკვირდით: ა) $2x - y - 1 = 0$ ბ) $x - 3 = 0$ გ) $y - 4 = 0$ დ) $x = 0$ ე) $y = 0$ საბოლოოდ, ამოცანები მოიცავს წერტილებს შორის მანძილის გამოთვლას, დახრილობის განსაზღვრას და წრფის განზომლას სხვადასხვა ფორმით. საბოლოო პასუხები: 4.1 ა) $\sqrt{17}$ 4.1 ბ) 3 4.2 ა) $2\sqrt{2}$ 4.2 ბ) $2\sqrt{2}$ 4.2 გ) $\sqrt{106}$ 4.4 B და C წერტილები არ ეკუთვნიან $k=3$ დახრილობის წრფეს P(2,1)-ის მიხედვით. 4.8 გადაკვეთის წერტილი: $\left(\frac{8}{5}, \frac{1}{5}\right)$ 4.9 გადაკვეთის წერტილი: $\left(-\frac{1}{6}, \frac{7}{6}\right)$