1. সমস্যাটি হলো: একটি ফাঁপা লোহার গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধ 14 সে.মি. এবং লোহার বেধ 2 সে.মি. দেওয়া আছে। এর ভিতরের নিরটে গোলক তৈরি করা হয়েছে যা একটি ঘনক আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে ফিট করে। আমাদের কাজ হলো: ক) ফাঁপা অংশের আয়তন নির্ণয় করা। খ) নিরটে গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা। গ) বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন নির্ণয় করা। 2. সূত্রাবলী ও নিয়মাবলী: - গোলকের আয়তন: $$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$ - গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল: $$A=4\pi r^2$$ - ঘনকের আয়তন: $$V= a^3$$ যেখানে $a$ হলো ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য। 3. প্রথমে, বাহিরের গোলকের ব্যাসার্ধ $R=14$ সে.মি., লোহার বেধ $t=2$ সে.মি., তাই ভিতরের গোলকের ব্যাসার্ধ হবে $$r=R-t=14-2=12$$ সে.মি। 4. (ক) ফাঁপা অংশের আয়তন = বাহিরের গোলকের আয়তন - ভিতরের গোলকের আয়তন $$V_{hollow}=\frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)$$ $$=\frac{4}{3}\pi (14^3 - 12^3)=\frac{4}{3}\pi (2744 - 1728)=\frac{4}{3}\pi (1016)$$ $$=\frac{4}{3} \times 3.1416 \times 1016 \approx 4256.64$$ ঘন সে.মি। 5. (খ) নিরটে গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল: $$A=4\pi r^2=4 \times 3.1416 \times 12^2=4 \times 3.1416 \times 144=1809.56$$ বর্গ সে.মি। 6. (গ) নিরটে গোলকটি একটি ঘনক আকৃতির বাক্সে ঠিক ফিট করে, তাই ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে নিরটে গোলকের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ: $$a=2r=2 \times 12=24$$ সে.মি। 7. ঘনকের আয়তন: $$V_{cube}=a^3=24^3=13824$$ ঘন সে.মি। 8. বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন = ঘনকের আয়তন - নিরটে গোলকের আয়তন $$V_{unused}=13824 - \frac{4}{3}\pi r^3=13824 - \frac{4}{3} \times 3.1416 \times 12^3=13824 - 7238.23=6585.77$$ ঘন সে.মি। সুতরাং, ক) ফাঁপা অংশের আয়তন = $4256.64$ ঘন সে.মি। খ) নিরটে গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = $1809.56$ বর্গ সে.মি। গ) বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন = $6585.77$ ঘন সে.মি।