1. مسئلہ: مثلث کے زاویوں کے نصف ہوتے ہیں، مثلث کی زاویوں کی ترچھی لکیریں (Bisectors) کیا خصوصیت رکھتی ہیں؟ تمام مثلث کی زاویوں کی ترچھی لکیریں ایک نقطے پر ملتی ہیں جسے مثلث کا اندرونی مرکز (Incenter) کہتے ہیں۔ یہ نقاط ایک دوسرے کو Concurrent کہتے ہیں۔ 2. مسئلہ: ایک اور دو نقاط کے درمیان کتنی لکیریں کھینچی جاسکتی ہیں؟ دو نقاط کے درمیان صرف ایک سیدھی لائن کھینچی جا سکتی ہے۔ 3. مسئلہ: متوازی الاضلاع میں مخالف اضلاع کی خصوصیت کیا ہے؟ جواب: متوازی الاضلاع میں مخالف اضلاع ایک دوسرے کے برابر اور متوازی ہوتے ہیں یعنی وہ Congruent اور Parallel ہوتے ہیں؛ زیادہ اہمیت Parallel کی ہے۔ 4. مسئلہ: مثلث کے اضلاع کے وسطی نقاط کو ملانے سے کتنے مثلث بنیں گے؟ جواب: وسطی نقاط کو ملانے سے 4 متساوی مثلث بنتے ہیں، جنہیں Midpoint Theorem کہتا ہے جو Quadrilateral (خاص طور پر Parallelogram) بناتی ہے۔ 5. مسئلہ: دو 2x2 میٹرکس $$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$ کیا قسم کے میٹرکس کہلاتے ہیں؟ جواب: یہ Unit Matrix کہلاتا ہے، جس میں diagonal کی قیمتیں 1 اور باقی 0 ہوتی ہیں۔ 6. مسئلہ: 9 + 3i کا conjugate کیا ہوگا؟ جواب: complex conjugate کو اصل عدد کی imaginary part کے نشان کو الٹ کر لکھا جاتا ہے، اس لئے conjugate ہوگا: $$9 - 3i$$ 7. مسئلہ: $$\log(m^3)$$ کو کونسی شکل میں لکھا جا سکتا ہے؟ جواب: \log(m^3) = 3 \log(m) 8. مسئلہ: \frac{x^2 - y^2}{x + y} کے برابر عبارت کونسی ہے؟ جواب: $$\frac{x^2 - y^2}{x + y} = \frac{(x + y)(x - y)}{x + y} = x - y$$ 9. مسئلہ: 8x^3 + 27y^3 کے عوامل کیا ہیں؟ جواب: یہ مجموعہ ہے اور اس کا فرق دو مکعب کا فارمولا لگائیں: $$8x^3 + 27y^3 = (2x)^3 + (3y)^3 = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$$ 10. مسئلہ: a^4 - b^4 اور a^2 + b^2 کا LCM کیا ہوگا؟ جواب: $$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$$ لہذا، $$LCM = a^4 - b^4$$ 11. مسئلہ: اگر x کی قیمت 10 سے بڑی نہ ہو تو کیا شرط بنتی ہے؟ جواب: $$x \leq 10$$ 12. مسئلہ: کونسا ordered pair مساوات $$y=2x$$ کو پورا کرتا ہے؟ اختیارات: (0,1), (2,2), (2,1), (1,2) جانچ: (0,1): 1 \neq 2*0 = 0 \Rightarrow غلط (2,2): 2 = 2*2 = 4 \Rightarrow غلط (2,1): 1 = 2*2 = 4 \Rightarrow غلط (1,2): 2 = 2*1 = 2 \Rightarrow درست لہذا جواب: (1, 2) 13. مسئلہ: ایک مثلث جس کے تمام اضلاع مختلف ہوں، اسے کیا کہتے ہیں؟ جواب: Scalene Triangle (مختلف الاضلاع) 14. مسئلہ: تین نقاط کو ہم خط نقاط (Collinear) تب کہتے ہیں جب وہ کہاں واقع ہوں؟ جواب: اگر وہ ایک ہی خط پر واقع ہوں، یعنی Same line 15. مسئلہ: مثلث کے وسطایے (Medians) کیا ہوتے ہیں؟ جواب: مثلث کے وسطایے وہ خطوط ہوتے ہیں جو ہر ضلع کے وسط نقطہ اور اس کے مخالف زاویہ کو جوڑتے ہیں۔ یہ تینوں concurrent ہوتے ہیں اور نقطہ تقاطع centroid کہلاتا ہے۔